Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

ФОРМИРОВАНИЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ ЗАМКНУТЫХ КРИВЫХ, УПОРЯДОЧЕННЫХ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ НА СЕТКАХ КЕПЛЕРА-ШУБНИКОВА

Иванов В.В. Таланов В.М.
Известны замкнутые фрактальные кривые, которые могут быть получены методом итераций, заданных соответствующим генератором, длина которых при бесконечном выполнении итерационного закона становится бесконечной, а их площадь хотя и изменяется, тем не менее принимает определенное конечное значение (например, снежинка Коха, построенная на треугольнике) [1, 2]. Заполнение такими фракталами двумерного пространства происходит в том случае, если они получены на определенной двумерной сетке (например, двухцветной сетке Кеплера-Шубникова).
Процедура формирования генератора G на отрезке - стороне многоугольника {Pg} = {N}- задается законом Tk: G = LK(1/l) а процедура получения фрактальной кривой - итерационным законом Ti. Тогда фрактальная кривая n-го поколения:

F{Pg}, n = G(Ti = n) = FK(1/l) {Pg}n (G22),

где K - коэффициент самоподобия, n - количество итераций (значение n = 0 соответствует исходному многоугольнику, n = 1 -
генератору), G22 - симметрия фигуры, образованной замкнутой фрактальной кривой.

Рассмотрим некоторые свойства множеств генерируемых замкнутых фрактальных кривых вида FK(1/l) {Pg}(T - G22), образующихся на одноцветных и двухцветных 2D сетках.

Замкнутые фрактальные кривые с генератором LK(3/4) обладают следующими свойствами [1, 2]:

1) длина кривой на i-м шаге итерации LF{N},n = (1/l)n L{N},0;

2) площадь кривой, построенной на многоугольнике {N} со стороной a и площадью S{N},0 зависит от количества итераций n, т.е.

SF{N},i = S{N},0 ± 31/2 (a/6)2i = 0 (4K)i,

где знаки ± указывают на два возможных варианта изменения площади многоугольника {N} при итерации,

3) размерность кривой D определяется из уравнения N = (1/l)D, где генератор 1/l = 4/3, следующим образом:

D = ln4/ln3 = 1,2618 > 1.

Множества замкнутых фрактальных кривых МFK(4/3){Pg}(G22), построенные на периметре {N}-тел (темных {Pg}) сетки Кеплера-Шубникова, образуют совокупности фигур, представляющие собой упаковки определенных снежинок Коха в двумерном пространстве. Множества замкнутых фрактальных кривых MF(4/3) S{Pg}(G22), построенные на периметре {N}-лакун (светлых {Pg}), образуют совокупность лакунарных фигур, дополняющую соответствующие множества МFK(4/3){Pg}(G22) до двумерного пространства.

Отметим, что в случае треугольных лакун генерируемое с помощью генератора Коха множество лакунарных кривых представляет собой результат его расслоения на мультимножество кривых МFK(4/3) S{3}(G22), каждая из которых состоит из определенного множества самоподобных (с коэффициентом подобия 2/9) замкнутых кривых в виде двух сросшихся с частичным наложением снежинок Коха FK(4/3){3}(p6mm). Отметим, что конфигурация и основные геометрико-топологические характеристики образующихся мультимножеств замкнутых лакунарных кривых полностью определяются соответствующими характеристиками двухцветных сеток Кеплера-Шубникова [3], содержащими светлые треугольники ({3}-лакуны) (таблица).

Характеристики некоторых структур из фрактальных кривых, полученных
на двухцветных сетках Кеплера-Шубникова, содержащих тригоны

Сетка Кеплера и ее симметрия

Характеристика сетки
Кеплера-Шубникова

Характеристика структур из фрактальных кривых

Форма
фрагмента

Код 2D структуры

FK(4/3){Pg}(G22)

из {Pg}-тел

MF`K(4/3) S{Pg}(G22)

из {Pg}-лакун

333333

(p6mm)

ЗШС

P{36}(3(3))(p3m1)

Плотная упаковка
снежинок коха

Fk(4/3){3}(p6mm)

Упорядоченное множество мультифракталов

Mf`k(4/3){3}(p3m1)

ЗШС

P{36}(1(3)-2(2))(p3)

Пористая упаковка снежинок коха

Fk(4/3){3}(p6mm)

Упорядоченное множество мультифракталов

Mf`k(4/3){3}(p3m1) и 

Mf`k(4/3) 4{3}(p3m1)

(1:1)

ЗШС

P{36}(1(3)-2(2))(pm)

Пористая упаковка снежинок коха

Fk(4/3){3}(p6mm)

33336

(p6)

ЗШС

P{346}(6(1)+3(1))(p6)

Упаковка снежинок коха

Fk(4/3){3}(p6mm) и

Fk(4/3){6}(p6mm) (2:1)

Упорядоченное
множество
мультифракталов

Mf`k(4/3)2(3}(p2mm)

34334

(p4gm)

ЗШС

P{3342}(4(2))(p4gm)

Упаковка снежинок коха

Fk(4/3){4}(p4mm)

Упорядоченное
множество
мультифракталов

Mf`k(4/3) 2{3}(p2mm)

3464

(p6mm)

ЗШС

P{3426}(4(2))(p6mm)

Пористая упаковка снежинок коха

Fk(4/3){4}(p4mm)

Упорядоченное
множество
мультифракталов

Mf`k(4/3){3}(p3m1) и

Mf`k(4/3) {6}(p6mm)

(2:1)

3636

(p6mm)

ЗШС

P{3262}(6(2))(p6mm)

Плотная упаковка снежинок коха

Fk(4/3){6}(p6mm)

Упорядоченное
множество
мультифракталов

Mf`k(4/3){3}(p3m1)

Некоторые характеристики фрактальных структур, изоморфных соответствующим сеткам Кеплера-Шубникова, также представлены в таблице. Канторово множество точек М, общих для смежных фрактальных кривых, и само множество фрактальных кривых имеют одинаковую мощность, равную мощности континуума [2].

Проанализируем мультифрактальные множества кривых. Изоморфные определенным сеткам Кеплера-Шубникова упорядоченные в двумерном пространстве множества фрактальных структур одновременно могут рассматриваться и как упаковки фракталов в виде определенных снежинок Коха FK(4/3){Pg}(G22), и как упорядоченные множества лакунарных мультифракталов MF(4/3){3}(p3m1) или MF(4/3) 2{3}(p2mm).

Отметим, что для всех представленных выше упорядоченных множеств лакунарных фрактальных кривых характерны ажурные решеточные конструкции, структурным элементом которых являются самоподобные фракталы.

Размерность лакунарных структур, образующихся внутри тригонов, может быть определена следующим образом:

Dim F(2) = limi 6∞¥k1/2 ΣSi.

Для множеств фрактальных кривых

MF(4/3){3}, MF(4/3)2{3} и MF(4/3)4{3}

относительные площади поверхности, занятые лакунами, соответственно равны

ΣSi = 3Σ2i-1ki, ΣSi= 5k + Σ2i-2ki-1

и ΣSi = 8k + 3Σ2i-4ki-1

с коэффициентом самоподобия k = 1/9.

Для косынки Серпинского F3{3},3(r),1/3 и производных от нее двух фрактальных структур гомологической серии
F(3+3n){3}, I, 1/(2+n) при n = 1 и 2 лакунарная размерность определяется проще:

Dim F(2) = k1/2 ΣSi,

где относительные площади поверхности, занятые лакунами, соответственно равны:

ΣSi = Σ3i-1ki (k = 1/4),

ΣSi = 3Σ6i-1ki (k = 1/9)

и ΣSi = 6Σ10i-1ki (k = 1/16).

Сравнительным анализом спектров установлено подобие лакунарных характеристик множеств фрактальных кривых MF(4/3){3}, MF(4/3)2{3} и MF(4/3)4{3} с фрактальной структурой F6{3}, I, 1/3, производной от классической косынки Серпинского.

Можно предположить, что предельное значение размера производных лакун, в которых еще может разместиться минимальная структурная единица вещества (атом), составляет величину порядка 0,1 нм [4]. Тогда в предположении, что инициальная лакуна имеет размер не более 1 мкм, физическими фракталами могут быть предфракталы не выше 4-го поколения (для классической салфетки Серпинского - не выше 6-го поколения).

Таким образом, с помощью метода итерационного модулярного дизайна получены серии мультифрактальных кривых (на основе некоторых сеток Кеплера-Шубникова), обладающих свойствами канторова множества. Определены основные характеристики фрактальных структур и их лакунарных спектров, которые представляют интерес в связи с определением вероятных распределений по размерам микро- и наночастиц, захваченных в процессе роста основной поверхностной фазы.

Список литературы

  1. Фракталы в физике; под ред. Л. Пьетронеро и Э. Тозатти. - М.: Мир, 1988. - 420 с.
  2. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991. - 260 с.
  3. Смирнова Н.Л. О сетках Кеплера-Шубникова // Кристаллография. - 2009. - Т.54, №5. - С. 789-794.
  4. Sander L.M. Fractal growth // Sci. Am. - 1987. - V.256. - P. 94-100.

Библиографическая ссылка

Иванов В.В., Таланов В.М. ФОРМИРОВАНИЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ ЗАМКНУТЫХ КРИВЫХ, УПОРЯДОЧЕННЫХ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ НА СЕТКАХ КЕПЛЕРА-ШУБНИКОВА // Современные наукоемкие технологии. – 2012. – № 2. – С. 76-78;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=30277 (дата обращения: 07.08.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074