Рассматривается распространение волн на поверхности жидкого диэлектрика с постоянной диэлектрической проницаемостью, находящегося на слое диэлектрической пористой среды, насыщенной жидкостью. Система координат выбрана так, что ось z направлена вертикально вверх, против вектора g ускорения свободного падения; z = -h1 - твердая поверхность, ограничивающая снизу пористый слой (- h1≤ z ≤ 0); z = 0 - поверхность раздела пористого слоя и свободной жидкости, z = h2 - невозмущенная свободная поверхность слоя жидкости, занимающей область 0 ≤ z ≤ h2 . Над поверхностью жидкости находится среда пренебрежимо малой плотности (атмосфера). Номерами 1, 2, 3 обозначаются величины, относящиеся к пористой среде, свободной жидкости и атмосфере соответственно. Приложенное однородное электрическое поле имеет произвольное направление. В результате распространения волн поле перестает быть однородным: появляется возмущение электрического поля. Предполагается, что в диэлектрике отсутствуют свободные электрические заряды.
Система уравнений движения жидкости в областях 1 и 2, а также для электрического поля в областях 1, 2, 3 имеет вид [1, 2, 3]:
5) rotEi = 0, diveiE1 = 0 (i=1,
2. 3). Здесь p - плотность жидкости, Г - пористость, 
-
макроскопическая скорость фильтрации, 
- скорость
свободной жидкости; p1, p2 - давление, η - вязкость, K - коэффициент проницаемости, 
-напряженность электрического поля; ε1-
Система граничных условий на поверхностях раздела [1, 2, 3]:
Здесь 
, 
- невозмущенное поле, 
- свободная возмущенная поверхность жидкости; 
, 
-единичный вектор нормали к поверхности, направленный из области 2 в 3; индекс τ означает касательную к поверхности составляющую
вектора; α- коэффициент поверхностного
натяжения;
p3=pатм=const
. Записывая
давление в виде pi = pi0 + piw (i = 1,2 ), и учитывая, что в линейном приближении 
где 
- единичные базисные векторы. Перепишем граничные условия
(2) в виде:
Первые четыре уравнения (1) принимают для возмущений вид:
Из уравнения непрерывности 
следует
Продифференцируем первое и второе уравнения (6) по x и y соответственно; сложим полученные равенства и при помощи (7) получим соотношение
Аналогично из уравнений 3) и 4) системы (4) следует:
Применяя к обеим частям
равенства 6)
в системе (3) оператор 
и, используя затем равенства (8) и (9), вместо равенства 6), получим другое равенство 6´), в котором отсутствуют P1 w и P2w .
Для исключения P2w и X из равенства 10) системы (3) выражение
а затем продифференцируем равенство 10) по t с учетом 
и 
. В
результате вместо 10)
получим равенство 10´), в котором отсутствует P2w и ξ.
Для исключения X из равенства 8) в системе (3) следует продифференцировать по t обе части этого равенства и использовать соотношение u2z = ∂ξ - ∂t. В результате получим равенство 8 ).
Чтобы исключить X из равенства 9) системы (3), это равенство дифференцируем по t и используем
затем u2 = ∂ξ - ∂t. В результате получим равенство 9´).
Решение системы уравнений (5) ищем в виде бегущих затухающих волн
Здесь 
- амплитуды; k1, к2 - компоненты волнового вектора 
; i = 1,2,3; 
- декремент затухания колебаний волны (β> 0 ), 
- частота колебаний волны.
Поставляя выражения (10) в уравнения (5), получим
систему пяти линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
нахождения для нахождения пяти амплитуд . Решения этих уравнений имеют вид:
Здесь 
-
волновое число, i = 1,2,3; j = 4,5,6; Сп(n = 1,2,...,10)
-
произвольные постоянные, для нахождения которых подставляем выражения (11) в
десять граничных условий: 1), 2), 3). 4), 5), 6 ), 8 ), 9 ), 10 ), 11). В
результате будем иметь однородную систему десяти линейных
относительно Cn алгебраических уравнений, которая имеет ненулевые решения только при равенстве нулю определителя системы, составленного из коэффициентов при Cn .
В связи с громоздкостью вычислений, ограничимся далее случаем чисто поперечного приложенного электрического поля, т. е. Ei0z ≠ 0 , E0ix = E0iy = 0 (i = 1,2,3 ), а также будем предполагать, что слой пористой среды имеет бесконечную толщину (h1 → ∞ ).
Седьмое граничное условие (3) используется для нахождения профиля волны:
Приравнивая к нулю определитель вышеназванной системы, получим дисперсионное уравнение для поверхностных волн, связывающее между собой величины g и к :
Зависимость величин β и ω от волнового числа k и от других параметров рассматривается на примере жидкого диэлектрика бензола, для которого при температуре 20°С: ρ - 0,879г/см3; α - 29,0дин / см ; ε2 - 2,29 ; η - 0,00648г / см • С. Пористая среда моделируется совокупностью стеклянных шариков с диэлектрической проницаемостью ε4 - 5. Величина ε1 находится по формуле ε1 = Г · ε2 + (1 - Г)ε4 ; для воздуха принимаем ε3 = 1. Коэффициент проницаемости K пористой среды в формуле (2) находится по формуле Козени [4]:
где d(cм) - диаметр шариков.
Напряженность электрического поля измеряется в единицах СГС (1 ед. СГС=300 В/см). Значения Е выбирались такими, чтобы они не превышали напряженность пробоя в воздухе при 20С (это около 80 ед. СГС = 24000 В/см).
Расчеты показывают, что при каждом фиксированном значении волнового числа k и значения E3 , величина J возрастает с ростом
пористости Г ; с ростом k крутизна графика этой зависимости уменьшается.
При каждой фиксированной толщине слоя И2 и значении E3 , при увеличении k значения J вначале возрастают, а затем, по достижении максимума, убывают. Чем меньше И2, тем круче график зависимости J(k ) на участке роста. При увеличении температуры от 10°С до 50°С, точка максимума графика J(k ) поднимается.
С ростом Г частота ω возрастает при фиксированных h2, k и E3
Функция β(σ) , где σ=h2/λ (λ = 2π/k -длина волны), при увеличении σ вначале возрастает, а по достижении максимума, убывает. При увеличении h2 точка максимума опускается.
В заключение автор благодарит профессора Н. Г. Тактарова за руководство работой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Столяров И.В., Тактаров Н.Г. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1987. №5. С. 183 - 186.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. -М.: Наука, 1982. -624 с.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. -М.: Наука, 1986. - 736 с.
4. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. - М.: Наука, 1972. - 392 с.
Библиографическая ссылка
Миронова С.М. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В СЛОЕ ЖИДКОГО ДИЭЛЕКТРИКА НА ПОРИСТОМ ОСНОВАНИИ // Современные наукоемкие технологии. – 2009. – № 9. – С. 138-141;URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=26605 (дата обращения: 03.12.2024).