![1](/snt/i/2007/12/20.jpg)
1. О С-точных парах переменных и сюръективности отображений
Пара (m, k) натуральных переменных m∈ A и k∈ B называется [1] С-точной парой, если для каждых соседних в Е
⊆N элементов m и k найдётся число С такое, что
|m-k|<C. (1)
Пусть ξ ,
и
. Пусть далее, Ni
и Di
Ni |φ (Ni ). Функция φ: N→N и ξ определяют последовательности {δi } и {di },
, где δi
{φ(n)- ni } ≥ 0 и di
|Di | ≥ 0. Очевидно, что условие ∃ξ
di = 0 является достаточным для сюръективности отображения φ. Примеры показывают, что это условие не является необходимым. Функция
определяет последовательность {
}, n∈N, целых чисел
φ(n)-n. Очевидно, что если
и
, то
Но существует пара (x, ) такая, что
δξ = δφ. (2)
Доказаны с использованием, в частности, (2) следующие предложения.
Утверждение 1. Для инъекции φ: N→N справедливо следующее условие:
(3)
Утверждение 2. Если φ: N→N, то ∃ C, С ≥ 0:
(4)
Утверждение 3. Если φ: N→N, то
, или, что эквивалентно, Ni ⊂ φ ( Ni+j ). (5)
Теорема 1. Условия (4) и (5) являются независимыми необходимые условиями сюръективности инъективного отображения φ: N→N, а их совместное выполнение является достаточным условием сюръективности этого отображения.
Утверждение 4. Из условия (3) следует, что для любой последовательности ξ существует число такое, что
Утверждение 5. Для всякой пары (m, k) переменных существует число С>0 такое, что пара (m, k) является С-точной парой (1).
Следствием Теоремы 1 является [1, c. 89]
Теорема 2. Не существует биекции между множеством N и его собственным подмножеством.
2. Приложения понятия С-точной пары переменных
Определение 1. Числовая последовательность (а) называется (ср. [1, c. 98]) w-сходящейся последовательностью (widely convergent sequence - w-CS), если:
(6)
С помощью понятия С-точной пары (1) и условия (6) доказано, что множество {w-CS} совпадает с множеством {FS} фундаментальных последовательностей (последовательностей Коши). Не ограниченная конечным числом последовательность Коши сходится, по определению [1, c. 100], к бесконечно большому числу (ILN) Ω(а). Например, последовательность
для α>0 является w-CS, так как
Переход от теории числовых последовательностей к анализу даёт [1, c. 101]
Теорема 3. Неограниченная дифференцируемая в ±∞ функция сходится к соответствующему ILN Ω (f) тогда и только тогда, когда
.
Предельный переход в формуле Лагранжа, записанной для функции f:
,
составляет доказательство Теоремы 3.
Теорема 3 позволяет доказать, что последовательность { }, определённая для всех
, например, формулой
, при
, сходится к соответствующему ILN
.
Как известно, количество простых чисел p, p ≤ x, определяется асимптотической формулой
. Так как функция g неограниченна и g´ (∞) = 0, то по Теореме 3
. Следовательно, количество всех простых чисел равно некоторому ILN
, что объясняет неограниченность последовательности
, расстояний между последовательными простыми числами.
Пусть для сходящегося числового ряда Следовательно, остаток rk ряда определяется равенством
. Тогда
. Пара (k, m) переменных в последнем предельном равенстве является (Утверждение 5) C -точной парой натуральных переменных, то есть ∃ C, С > 0, такое что,
Поэтому из
→0 следует [1, c. 105], что
Доказана [1, c. 107] независимость сходимости числового знакопеременного ряда от перестановки его слагаемых, для чего, в частности, из понятия частичной суммы ряда и его остатка были выделены значения этих сумм (конечной и бесконечной, соответственно). Это утверждение иллюстрируется с помощью С-точной пары (1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Cухотин А.М. Начало высшей математики: учеб. пособие . - 2-е изд., перераб. и доп. - Томск: Изд-во ТПУ, 2004. - 148 с.
Работа представлена на научную международную конференцию «Проблемы высшего и профессионального образования», 8-15 августа 2007 г., Коста Брава (Испания). Поступила в редакцию 05.06.2007.
Библиографическая ссылка
Сухотин А.М. С-ТОЧНЫЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В АНАЛИЗЕ И В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ // Современные наукоемкие технологии. – 2007. – № 12. – С. 62-63;URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=25814 (дата обращения: 17.08.2024).