Научный журнал

Современные наукоемкие технологии

ISSN 1812-7320

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,940

• Авторы
• Файлы

Сухотин А.М.

Статья в формате PDF

159 KB

1. О С-точных парах переменных и сюръективности отображений

Пара (m, k) натуральных переменных m∈ A и k∈ B называется [1] С-точной парой, если для каждых соседних в Е  ⊆N элементов m и k найдётся число С такое, что

|m-k|<C.                        (1)

Пусть ξ ,   и . Пусть далее, N_i  и D_i  N_i |_φ (N_i ). Функция φ: N→N и ξ определяют последовательности {δ_i } и {d_i }, , где δ_i   {φ(n)- n_i } ≥ 0 и d_i  |D_i  | ≥ 0. Очевидно, что условие ∃ξ  d_i = 0 является достаточным для сюръективности отображения φ. Примеры показывают, что это условие не является необходимым. Функция определяет последовательность { }, n∈N, целых чисел   φ(n)-n. Очевидно, что если и , то Но существует пара (x, ) такая, что

δ_ξ = δ_φ.               (2)

Доказаны с использованием, в частности, (2) следующие предложения.

Утверждение 1. Для инъекции φ: N→N справедливо следующее условие:

            (3)

Утверждение 2. Если φ: N→N, то ∃ C, С ≥ 0:

            (4)

Утверждение 3. Если φ: N→N, то

, или, что эквивалентно, N_i ⊂ φ ( N_i+j ). (5)

Теорема 1. Условия (4) и (5) являются независимыми необходимые условиями сюръективности инъективного отображения φ: N→N, а их совместное выполнение является достаточным условием сюръективности этого отображения.

Утверждение 4. Из условия (3) следует, что для любой последовательности ξ существует число  такое, что

Утверждение 5. Для всякой пары (m, k) переменных существует число С>0 такое, что пара (m, k) является С-точной парой (1).

Следствием Теоремы 1 является [1, c. 89]

Теорема 2. Не существует биекции между множеством N и его собственным подмножеством.

2. Приложения понятия С-точной пары переменных

Определение 1. Числовая последовательность (а) называется (ср. [1, c. 98]) w-сходящейся последовательностью (widely convergent sequence - w-CS), если:

       (6)

С помощью понятия С-точной пары (1) и условия (6) доказано, что множество {w-CS} совпадает с множеством {FS} фундаментальных последовательностей (последовательностей Коши). Не ограниченная конечным числом последовательность Коши  сходится, по определению [1, c. 100], к бесконечно большому числу (ILN) Ω(а). Например, последовательность  для α>0  является w-CS, так как

Переход от теории числовых последовательностей к анализу даёт [1, c. 101]

Теорема 3. Неограниченная дифференцируемая в ±∞ функция  сходится к соответствующему ILN Ω (f) тогда и только тогда, когда .

Предельный переход в формуле Лагранжа, записанной для функции f:

,

составляет доказательство Теоремы 3.

Теорема 3 позволяет доказать, что последовательность { }, определённая для всех , например, формулой , при , сходится к соответствующему ILN .

Как известно, количество  простых чисел p, p ≤ x, определяется асимптотической формулой . Так как функция g неограниченна и g´ (∞) = 0, то по Теореме 3 . Следовательно, количество всех простых чисел равно некоторому ILN , что объясняет неограниченность последовательности , расстояний между последовательными простыми числами.

Пусть для сходящегося числового ряда   Следовательно, остаток r_k ряда определяется равенством . Тогда . Пара (k, m) переменных в последнем предельном равенстве является (Утверждение 5) C -точной парой натуральных переменных, то есть ∃ C, С > 0, такое что,  Поэтому из  →0 следует [1, c. 105], что

Доказана [1, c. 107] независимость сходимости числового знакопеременного ряда от перестановки его слагаемых, для чего, в частности, из понятия частичной суммы ряда  и его остатка были выделены значения этих сумм (конечной и бесконечной, соответственно). Это утверждение иллюстрируется с помощью С-точной пары (1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Cухотин А.М. Начало высшей математики: учеб. пособие . - 2-е изд., перераб. и доп. - Томск: Изд-во ТПУ, 2004. - 148 с.

Библиографическая ссылка