Применение математических моделей реализации ортогональных преобразований в алгебраических модульных системах позволит повысить скорость и точность цифровой обработки сигналов (ЦОС). С точки зрения основополагающих принципов построения спецпроцессоров (СП) ЦОС, все известные технические реализации можно разделить на несколько основных групп. К первой из них относятся СП, базирующиеся на реализации ортогональных преобразований сигналов над полем комплексных чисел - дискретном преобразовании Фурье (ДПФ) [1]. Для реализации обратного преобразования сигналов используется обратное ДПФ (ОДПФ).
Однако реализация ДПФ и ОДПФ характеризуется низкой скоростью вычислений и предопределяет значительные погрешности при вычислении значений спектральных коэффициентов в поле комплексных чисел, обусловленных тем, что поворачивающие коэффициенты представляют собой иррациональные числа. Лучшие показатели быстродействия получаются при использовании так называемых быстрых дискретных преобразований Фурье (БПФ) [1]. Дальнейшим шагом в повышении эффективности реализации ортогональных преобразований стал алгоритм простых множителей и алгоритм Винограда. В этом случае обеспечивается возможность сокращения числа операций умножений по сравнению с БПФ в 2-3 раза при незначительном увеличении числа сложений [2].
Кроме того существуют математические модели ЦОС, обладающие свойством конечного кольца и поля. Если значение входного сигнала рассматривать как подмножество других алгебраических систем, обладающих структурой кольца или конечного поля Галуа, то реализацию ортогональных преобразований сигналов можно свести к теоретико-числовым преобразованиям (ТЧП), определяемым в пространстве кольца вычетов целых чисел по модулю М [2].
Однако основным недостатком ТЧП является жесткая связь между точностью вычислений, размерностью входного вектора x(nT) и значением модуля М. Даже небольшой динамический диапазон входных сигналов требует больших значений модуля М, а значит арифметическое устройство, реализующее ортогональные преобразования сигналов, должно иметь большую разрядную сетку. С этой точки зрения наиболее привлекательными являются преобразования, определенные над полем Галуа 
, где р - простое, а v - положительное целое число [2].
В подавляющем большинстве приложений задача ЦОС сводится к нахождению значений ортогонального преобразования конечной реализации сигнала для большого числа точек, что предопределяет повышенные требования к разрядности вычислительного устройства. Для эффективной реализации ортогональных преобразований высокой точности целесообразно использовать реализацию обобщенного ДПФ в кольце полиномов.
Применение полиномиальной системы классов вычетов (ПСКВ), в которой в качестве модулей непозиционной системы используются минимальные многочлены расширенного поля Галуа 
, позволяет уменьшить разрядную сетку вычислительного устройства и повысить скорость обработки сигналов. Это целесообразно тем, что операции сложения и умножения производятся параллельно по основаниям ПСКВ. Реализация китайской теоремы об остатках (КТО)обеспечивает представление входного сигнала в виде n - разрядного (n=k+r) вектора, т. е. x = (a1(z), a2(z), ...ak+r(z)). Очевидно, что ai(z) ∈ ZPi(z) и арифметические операции над компонентом ai(z) выполняются по законам конечного полиномиального кольца ZРi (Z). При этом разрядная сетка каждого вычислительного тракта имеет длину ψi = ord pi(z). следовательно длина разрядной сетки ψI, i = 1, ..., n, вычислительного канала, реализующего операции кольца pi(z), всегда значительно меньше диапазона 
, реализующего операции с числами разрядностью 
.
Обобщая выше сказанное, можно сделать следующий вывод. Применение полиномиальной системы классов вычетов позволяет в максимальной степени использовать все преимущества целочисленной обработки сигналов, обеспечивая параллельно-конвейерную организацию вычисления спектра входного сигнала, повысить скорость обработки данных и обеспечить отказоустойчивость СП ЦОС [2].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Элементы компьютерной математики и нейроноинфроматики /Червяков Н.И., Калмыков И.А., Галкина В.А., Щелкунова Ю.О., Шилов А.А.; Под ред. Н.И. Червякова. - М.: Физматлит, 2003. - 216 с.
- Калмыков И.А. Математические модели нейросетевых отказоустойчивых вычислительных средств, функционирующих в полиномиальной системе классов вычетов /Под ред. Н.И. Червякова - М: Физматлит, 2005.-276 с.
Библиографическая ссылка
Тимошенко Л.И. ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЛАДАЮЩЕЙ СВОЙСТВОМ КОЛЬЦА, ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ // Современные наукоемкие технологии. – 2007. – № 9. – С. 32-33;URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=25465 (дата обращения: 21.11.2024).