Научный журнал

Современные наукоемкие технологии

ISSN 1812-7320

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,940

• Авторы
• Резюме
• Файлы

Родюков А.В. Тараканов А.Ф

В РАБОТЕ ИССЛЕДОВАНА ДВУХУРОВНЕВАЯ ИЕРАРХИЧЕСКАЯ ИГРА В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ С ФУНКЦИЯМИ РИСКА ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ СТРАТЕГИЯХ ИГРОКОВ. МЕЖДУ ИГРОКАМИ УРОВНЕЙ СТРОИТСЯ РАВНОВЕСИЕ НЭША, А С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИЙ РИСКА ИГРОКОВ ВОЗДЕЙСТВИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ УЧИТЫВАЕТСЯ ПО СЛЕЙТЕРУ. ПОКАЗАНО, ЧТО ПРЕДЛАГАЕМОЕ ГАРАНТИРОВАННОЕ РАВНОВЕСИЕ НЭША-СЛЕЙТЕРА ТАКОЙ ИГРЕ ЧАСТИЧНО ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМО И НЕУЛУЧШАЕМО. ВЫЯВЛЕНЫ СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ И ФУНКЦИИ РИСКА. СФОРМУЛИРОВАН АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

Статья в формате PDF

554 KB

Игра двух лиц в условиях неопределённости задаётся набором

.                              (1)

Здесь множество  - номера игроков,  ( ) - множество ситуаций x = (x₁,x₂) игры, каждая из которых образуется соответствующими стратегиями игроков: - стратегия игрока верхнего уровня (1-й игрок),  - стратегия игрока нижнего уровня (2-й игрок),  - неопределённость, функция выигрыша i-го игрока задана непрерывной на  скалярной функцией , вектор .

Цель i-го игрока - выбор такой стратегии, чтобы в ситуации x = (x₁,x₂) его выигрыш f_i(x,y) принял возможно большее значение. При этом каждый игрок при выборе своей стратегии ориентируется на возможность реализации наименее благоприятных для него значений неопределённости . Предполагается, что игроки обладают достоверной информацией о стратегиях и множестве неопределённостей, игрокам известны функции выигрыша друг друга.

Игра протекает следующим образом. Первый игрок формирует подмножество стратегий

и информирует о нем игрока нижнего уровня (2-го). В ответ 2-й игрок формирует подмножество стратегий

,

выбирает стратегию  и информирует о ней 1-го игрока. Стратегия 2-го игрока явно зависит от стратегии Центра, который принимает окончательное решение. Затем вычисляются значения функций выигрыша игроков.

На множестве  определим функции риска игроков

, i =1,2.

2. Определение равновесия и его свойства

Определение 1. Тройку  назовём гарантированным равновесием Нэша-Слейтера в игре (1), если существует такая неопределённость y*, что выполняются следующие условия:

1) ситуация  является равновесной по Нэшу, то есть

,                   (2)

,                        (3)

2) неопределённость y* максимальна по Слейтеру, то есть для всех y€Y несовместна система неравенств

.                          (4)

Множество гарантирующих равновесий  игры (1) обозначим N_S. Решением игры назовём совокупность , i =1,2 .

Определение 2. Ситуации равновесия из множества N_S в игре (1) назовём частично взаимозаменяемыми, если для любых  и  выполняются равенства

             (5)

Свойство 1. Ситуации равновесия из множества N_S в игре (1) частично взаимозаменяемы.

Доказательство. Возьмём произвольные  и . Согласно (2) и (3), имеем ,i=1,2, и поэтому

, ,y€Y .                    (6)

Отсюда . Полагая здесь , , получим справедливость первого равенства в (5) при i=1:

,  .

Аналогично равенство доказывается для f₂.

Далее, подставляя в функцию  значения  и , получим , а с учётом (6) будет . Это равенство выполняется для любых i=1,2 и x₂ € X₂. Поэтому при ,k=1,2, получим справедливость второго равенства в (5) при i=1. Доказывается для F₂ аналогично. Свойство 1 доказано.

Таким образом, в отличие от обычных игр с равновесием Нэша (в которых взаимозаменяемости стратегий нет), в иерархической игре выполняется свойство частичной взаимозаменяемости ситуаций равновесия. Отметим, что для функции риска второе равенство в (5) означает полную взаимозаменяемость ситуаций равновесия.

Определение 3. Тройку  назовём неулучшаемым гарантирующим равновесием Нэша-Слейтера в игре (1), если для любых  выполняются неравенства .

Свойство 2. Пусть  при любых x₂ € X₂,  при любых x₁ € X₁. Тогда любая тройка  в игре (1) является неулучшаемым гарантирующим равновесием Нэша-Слейтера.

Доказательство. Пусть . Из определения множества  при y = y* и из (2) соответственно следует, что

, , .

Так как при любых x₂ € X₂ , то, полагая во втором неравенстве , получим , то есть  - неулучшаемое гарантирующее равновесие Нэша-Слейтера. Для функции f₂ доказательство аналогично. Свойство 2 доказано.

Рассмотрим иерархическую игру (1) как игру 1-го игрока со стратегией  и 2-го игрока (неопределённости) со стратегией y € Y, то есть

,                                          (7)

где . Первый игрок стремится за счёт выбора  минимизировать , а 2-ой за счёт выбора y € Y - максимизировать её.

Свойство 3. Решение Нэша-Слейтера  игры (1) является седловой точкой игры (7), то есть  для любых x € X, y € Y .

Доказательство. Так как y* максимально по Слейтеру, то несовместна система неравенств F_i (x*,y*)i(x*,y), i € N. Суммируя, получаем невозможность неравенства

.

Значит, . Далее, так как  - ситуация равновесия по Нэшу, то

,

.

Отсюда

,

.

В то же время

,

.

Очевидно, что  или , что и требуется. Свойство 3 доказано.

Пусть y^S - минимальная по Слейтеру неопределённость в задаче ,  - тройка из определения 1.

Свойство 4. Пусть ,i € N ,y € Y. Тогда риск игрока в ситуации x* оценивается снизу неравенством .

Доказательство. Так как y* - максимальная по Слейтеру неопределённость, то для любых y € Y найдётся индекс  такой, что  или

Для всех  справедливо , поэтому при  будет . В силу ,i € N , получим . Свойство 4 доказано.

Содержательный смысл свойства 4 в том, что для получения большего гарантированного выигрыша при использовании функции риска, чем при использовании простых функций выигрыша f_i (x,y) требуется больший риск.

Свойство 5. Пусть функции ,i € N , удовлетворяют условию Липшица по совокупности переменных (x_i,y) с константами L_i. Риск игрока в ситуации x* оценивается сверху неравенством ( )

.

Доказательство. Как и при доказательстве свойства 4, имеем

 или

,

.

При y = y* получаем . С использованием условия Липшица приходим к требуемой оценке. Свойство 5 доказано.

Полученная оценка говорит о том, что величина риска игрока зависит в целом только от его стратегии и размеров множества неопределённостей. Воздействие других игроков косвенно учитывается в константе Липшица. Если игроки не отступают от своих оптимальных стратегий , то оценкой риска сверху является .

Свойства 1-5 в достаточной степени раскрывают свойства предлагаемого равновесия и содержательный смысл функции риска игрока и дополняют тем самым результаты [1].

3. Алгоритм решения игры

Найти x_i(y), удовлетворяющие равенствам

, .

Подставить  в функции  и получить функции  и . Эти функции выпуклы по обоим аргументам.

Вычислить величины

, ,

где br(M) - граница множества M (вообще говоря, после 3 шага вместо  вычислены значения , i=1,2, которые означают выигрыши игроков при наилучших для них действиях партнеров по иерархии и наилучшей неопределённости; однако легко показать, что стратегии и выигрыши игроков в этом случае не изменяются).

Составить функции риска игроков

,

и функцию .

Найти гарантированную неопределенность y* как решение задачи  и найти стратегии игроков , .

Вычислить риски игроков , i =1,2.

Список литературы:

1. Жуковский В.И., Жуковская Л.В. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности. - М.: Едиториал УРСС, 2004.

Библиографическая ссылка