Э. Шредингер исходит из уравнения Гамильтона в частных производных:
,
где q (x,y,z)- координата; ψ - волновая функция; - импульс, в котором S есть функция действия; E - энергия.
Далее им приведено уравнение в виде:
. (1)
Это уравнение сам Э. Шредингер называет [1, С.626] эйлеровским дифференциальным уравнением. Никаких комментариев и ссылок по этому поводу он не приводит. Введение Э. Шредингером в уравнение (1) вместо постоянной К величины позволило получить уравнение вида:
. (2)
В таком виде уравнение (2) называют стационарным уравнением Шредингера.
Как видно, основой приведенного уравнения (1) является волновая функция
ψ (t,p,g),
где t,p,g можно назвать координатами Эйлера: t - время или временной масштаб события, q(x,y.z) - пространственный масштаб и p(px,py,pz) - импульс или энергетический эффект, сопровождающий данное явление.
В настоящем сообщении рассматривается возможность получения различных вариантов уравнения Шредингера в зависимости от бесконечно малого изменения волновой функции ψ(t,p,g) в форме ее дифференциала:
. (3)
Откуда следует, что
. (4)
Из курса механики известно, что:
- скорость;
- сила,
где Н - функция Гамильтона, равная , в которой U - потенциальная энергия. Учитывая данные выражения, уравнение (4) можно записать в виде:
. (5)
Также из курса механики известно выражение, которое представляет собой классическую скобку Пуассона:
,
Следовательно, выражение (5) можно представить в упрощенном виде:
. (6)
Если волновая функция ψ не зависит явно от времени, т.е. , в этом случае, дальнейшее упрощение выражения (6) приводит к виду:
. (7)
Введение же в приведенное выражение (7) оператора Гамильтона вместо функции Гамильтона H дает возможность получения упрощенного уравнения Шредингера в виде:
, (8)
а это есть, по-существу, стационарное уравнение Шредингера.
Как показано, оператор Гамильтона H^ определяется операторами импульса p^ и U(q^). Следовательно, возникает необходимость установления видов p^ и q^. Обычно, во многих изданиях по квантовой механике эти величины постулируются, т.е. даются без выводов и доказательств. Для решения данной задачи можно использовать для волновой функции ψ(t,p,g), так называемые Фурье - преобразования [2, С.630-631]:
; (9)
. (10)
Дифференциалы левых и правых частей уравнений (9) и (10) позволяет устранить непростые интегралы в правых частях данных равенств:
; (11)
. (12)
Дифференцирование уравнения (11) по импульсу p и уравнения (12) по координате q приводит к следующим равенствам:
;(13)
. (14)
Полученные выражения с учетом уравнений (11) и (12) можно представить в упрощенных формах:
;(15)
. (16)
Отсюда следует, что
; (17)
. (18)
Далее, в правую часть выражений (17) и (18) введем обозначения q = q^ и p = p^ соответственно. Это и есть искомые операторы импульса и координаты, которые называют эрмитовыми [4, C.42, 63]:
; (19)
. (20)
Следовательно, оператор Гамильтона в уравнении (8) имеет вид:
. (21)
Отсюда вытекает условие эрмитовости [4, C.42, 63]:
. (22)
Данное выражение показывает, что результат дифференцирования функций по двум различным переменным не зависит от порядка дифференцирования, или иначе функции φ и ψ коммутативны [3, C.67, 73]:
. (23)
Тогда как координата и соответствующая ей составляющая импульса не коммутируют в отличие от выражения (23):
. (24)
Так же, значение оператора Гамильтона H^ позволяет перейти к так называемым перестановочным соотношениям Иордана-Борна. Так, согласно Дираку [1, C.617], разность гейзенберговских произведений двух квантовых величин х и у равна скобке Пуассона этих величин, умноженной на :
(25)
Теперь, если же волновая функция ψ зависит явно от времени, т.е. , то получаем нестационарное уравнение Шредингера:
. (26)
Далее использование скобки Пуассона из перестановочного соотношения Иордана-Борна (25) в полученном уравнении позволяет получить выражение (26) в виде:
. (27)
Согласно Дираку [5. С.37], поскольку уравнение (27) содержит два неизвестных, то оно не имеет решения даже для атома водорода. В последующие годы при изучении уравнения (27) физики нашли способ решения в виде двух задач:
- Первая колебательная задача состоит в постулировании содержания волновой функции ψ и использовании матрицы силовых полей, дающих экспериментально энергии;
- Вторая задача состоит в постулировании энергии и дальнейшем нахождении функции ψ.
Использование в первой колебательной задаче волновой функции Слейтера-Зинера и потенциалов ионизаций атомов ионов позволило нам теоретически рассчитать ионные радиусы элементов в хорошем соответствии с эмпирически и полуэмпирическими значениями радиусов ионов по Полингу, Гольдшмидту Белову-Бокию, Мелвину-Хьюзу и Ингольду [6].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Успехи физических наук. - М.: Наука. - 1977. - Т. 122. - Вып. 4. - С. 561-623, 625, 574, 611, 621.
- Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. - М.: Наука. - 1976. - 664 с.
- Шпольский Э.В. Атомная физика: учебное пособие. - М.: Наука. - 1984. - Т. 2. - 440 с.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). - М.: Наука. - 1989. - Т.3 - 768 с.
- Дирак П.А.М. Пути физики / Под. Ред. Г. Хора, Дж. Шепанского. - М.: Энергоатомиздат. - 1983. - 88 с.
- Балданов М.М., Балданова Д.М., Жигжитова С.Б., Танганов Б.Б. Константа экранирования Слейтора-Зинера и радиусы одноатомных ионов // Известия вузов. Физика.- 2006.- Т. 49. - №3.- С.59-67.
Библиографическая ссылка
Балданова Д.М., Балданов М.М., Танганов Б.Б. КООРДИНАТЫ ЭЙЛЕРА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА // Современные наукоемкие технологии. – 2010. – № 4. – С. 29-33;URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=24625 (дата обращения: 10.12.2024).