Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

АЛГОРИТМЫ ПОИСКА ДАННЫХ

Ахтамова С.С.
В данной работе рассматриваются алгоритмы последовательного и логарифмического поиска (наихудший и средний случай), дается их анализ, оценивается эффективность и время выполнения. Приведены образцы выполнения заданий, демонстрационные примеры и список литературы. Статья ориентирована, в первую очередь, на студентов вузов, изучающих информатику в качестве профильной дисциплины.
Одними из важнейших процедур обработки структурированной информации является поиск. Задача поиска привлекала большое внимание ученых (программистов) еще на заре компьютерной эры. С 50-х годов началось решение проблемы поиска элементов, обладающих определенным свойством в заданном  множестве. Алгоритмам поиска посвятили свои труды J. von Neumann, K. E. Batcher, J. W. J. Williams, R. W. Floyd, R. Sedgewick, E. J. Isaac, C. A. R. Hoare, D. E. Knuth, R. C. Singleton, D. L. Shell и другие. Исследования алгоритмов поиска ведутся и в настоящее время.

У каждого алгоритма есть свои преимущества и недостатки. Поэтому важно выбрать тот алгоритм, который лучше всего подходит для решения конкретной задачи.

Задачу поиска можно сформулиро-вать так: найти один или несколько элементов в множестве, причем искомые элементы должны обладать определенным свойством. Это свойство может быть абсолютным или относительным. Относительное свойство характеризует элемент по отношению к другим элементам: например, минимальный элемент в множестве чисел. Пример задачи поиска элемента с абсолютным свойством: найти в конечном множестве занумерованных элементов элемент с номером 13, если такой существует.

Таким образом, в задаче поиска имеются следующие шаги [2]:

1) вычисление свойства элемента; часто это - просто получение «значения» элемента, ключа элемента и т. д.;

2) сравнение свойства элемента с эталонным свойством (для абсолютных свойств) или сравнение свойств двух элементов (для относительных свойств);

3) перебор элементов множества, т. е. прохождение по элементам множества.

Первые два шага относительно просты. Вся суть различных методов поиска сосредоточена в методах перебора, в стратегии поиска и здесь возникает ряд вопросов [2]:

  • Как сделать так, чтобы проверять не все элементы?
  • Если же задача требует неоднократного прохода по всем элементам множества, то как уменьшить количество проходов?

Ответы на эти вопросы зависят от структуры данных, в которой хранится множество элементов. Накладывая незначительные ограничения на структуру исходных данных, можно получить множество разнообразных стратегий поиска различной степени эффективности.

Последовательный поиск

Поиск нужной записи в неотсортированном списке сводится к просмотру всего списка до того, как запись будет найдена. "Начать с начала и продолжать, пока не будет найден искомый ключ, затем остановиться" [1] -это простейший из алгоритмов поиска. Этот алгоритм не очень эффективен, однако он работает на произвольном списке.

Перед алгоритмом поиска стоит важная задача определения местонахож-дения ключа, поэтому он возвращает индекс записи, содержащей нужный ключ. Если поиск завершился неудачей (ключевое значение не найдено), то алгоритм поиска обычно возвращает значение индекса, превышающее верхнюю границу массива.

Здесь и далее предполагается, что массив А состоит из записей, и его описание и задание произведено вне процедуры (массив является глобальным по отношению к процедуре). Единственное, что требуется знать о типе записей - это то, что в состав записи входит поле key - ключ, по которому и производится поиск. Записи идут в массиве последовательно и между ними нет промежутков. Номера записей идут от 1 до n - полного числа записей. Это позволит нам возвращать 0 в случае, если целевой элемент отсутствует в списке. Для простоты мы предполагаем, что ключевые значения не повторяются.

Процедура SequentialSearch выпол-няет последовательный поиск элемента z в массиве A[1..n].

SequentialSearch(A, z, n)

(1) for i ←1 to n

(2) do if z = A[i].key

(3) then return i

(4) return 0

Анализ наихудшего случая. У алгоритма последовательного поиска два наихудших случая. В первом случае целевой элемент стоит в списке последним. Во втором его вовсе нет в списке. В обоих случаях алгоритм выполнит n сравнений, где n - число элементов в списке.

Анализ среднего случая. Целевое значение может занимать одно из n возможных положений. Будем предполагать, что все эти положения равновероятны, т. е. вероятность встретить каждое из них равна f. Следовательно, для нахождения i‑го элемента A[i] требуется i сравнений. В результате для сложности в среднем случае мы получаем равенство

f

Если целевое значение может не оказаться в списке, то количество возможностей возрастает до + 1. при отсутствии элемента в списке его поиск требует n сравнений. Если предположить, что все + 1 возможностей равновероятны, то получим

f

f

Получается, что возможность отсутствия элемента в списке увеличивает сложность среднего случая на f, но по сравнению с длиной списка, которая может быть очень велика, эта величина пренебрежимо мала.

Рассмотрим общий случай, когда вероятность встретить искомый элемент в списке равна pi , где p≥ 0 и f В этом случае средняя сложность (математическое ожидание) поиска элемента будет равна f Хорошим приближением распределения частот к действительности является закон Зипфа: f для = 1, 2, ..., n. [nе наиболее употребительное в тексте на естественном языке слово встречается с частотой, приблизительно обратно пропорциональной n.] Нормирующая константа выбирается так, что f Пусть элементы массива A упорядочены согласно указанным частотам, тогда f и среднее время успешного поиска составит

f что намного меньше f. Это говорит о том, что даже простой последовательный поиск требует выбора разумной структуры данных множества, который бы повышал эффективность работы алгоритма.

Алгоритм последовательного поиска данных одинаково эффективно выполня-ется при размещении множества a1, a2,..., an на смежной или связной памяти. Сложность алгоритма линейна - O(n).

 Логарифмический поиск

Логарифмический (бинарный или метод делением пополам) поиск данных применим к сортированному множеству элементов a1 < a2 < ... < an, размещение которого выполнено на смежной памяти. Суть данного метода заключается в следующем: поиск начинается со среднего элемента. При сравнении целевого значения со средним элементом отсортированного списка возможен один из трех результатов: значения равны, целевое значение меньше элемента списка, либо целевое значение больше элемента списка. В первом, и наилучшем, случае поиск завершен. В остальных двух случаях мы можем отбросить половину списка. Действительно, когда целевое значение меньше среднего элемента, мы знаем, что если оно имеется в списке, то находится перед этим средним элементом. Если целевое значение больше среднего элемента, мы знаем, что если оно имеется в списке, то находится после этого среднего элемента. Этого достаточно, чтобы мы могли одним сравнением отбросить половину списка.

Итак, результат сравнения позволяет определить, в какой половине списка продолжить поиск, применяя к ней ту же процедуру.

Процедура BinarySearch выполняет бинарный поиск элемента z в отсортированном массиве A[1..n].

BinarySearch(A, z, n)

(1) p←1

(2) r←n

(3) while pr do

(4) q← [(p+r)/2]

(5) if A[q].key = z

(6) then return q

(7) else if A[q].key < z

(8) then p←q+1

(9) else r←q-1

(10) return 0

Анализ наихудшего случая. Поскольку алгоритм всякий раз делит список пополам, будем предполагать при анализе, что = 2 1 для некоторого k. Ясно, что на некотором проходе цикл имеет дело со списком из 2 1 элементов. Последняя итерация цикла производится, когда размер оставшейся части становится равным 1, а это происходит при = 1 (так как  21 ‑ 1 = 1). Это означает, что при n = 2k ‑ 1 число проходов не превышает k. Следовательно, в наихудшем случае число проходов равно = log2(n+1).

Анализ среднего случая. Рассмотрим два случая. В первом случае целевое значение наверняка содержится в списке, а во втором его может там и не быть. В первом случае у целевого значения n возможных положений. Будем считать, что все они равновероятны. Представим данные a1 < a2 < ... < an в виде бинарного дерева сравнений, которое отвечает бинарному поиску. Бинарное дерево называется деревом сравнений, если для любой его вершины выполняется условие:

{Вершины левого поддерева} < {Вершина корня} < {Вершины правого поддерева}

Если рассматривать бинарное дерево сравнений, то для элементов в узлах уровня i требуется i сравнений. Так как на уровне i имеется 2i‑1 узел, и при = 2k ‑ 1 в дереве k уровней, то полное число сравнений для всех возможных случаев можно подсчитать, просумми-ровав произведение числа узлов на каждом уровне на число сравнений на этом уровне.

f

f

Подставляя 2k = n + 1, получим

f

Во втором случае число возможных положений элемента в списке по-прежнему равно n, однако на этот раз есть еще + 1 возможностей для целевого значения не из списка. Число возможностей равно n + 1, поскольку целевое значение может быть меньше первого элемента в списке, больше первого, но меньше второго, больше второго, но меньше третьего, и так далее, вплоть до возможности того, что целевое значение больше n‑го элемента. В каждом из этих случаев отсутствие элемента в списке обнаруживается после k сравнений. Всего в вычислении участвует 2+ 1 возможностей. 

f .

Аналогично получаем, что

f

Значит, сложность поиска является логарифмической O(log2n).

Рассмотренный метод бинарного поиска предназначен главным образом для сортированных элементов a1 < a2 < ... < an на смежной памяти фиксированного размера. Если же размерность вектора динамически меняется, то экономия от использования бинарного поиска не покроет затрат на поддержание упорядо-ченного расположения a1 < a2 < ... < an.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Кнут, Д. Искусство программирования. Т. 3. Сортировка и поиск. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2003.
  2. Королев, Л. Н. Информатика. Введение в компьютерные науки / Л. Н. Королев, А. И. Миков. - М.: Высш. шк., 2003.

Библиографическая ссылка

Ахтамова С.С. АЛГОРИТМЫ ПОИСКА ДАННЫХ // Современные наукоемкие технологии. – 2007. – № 3. – С. 11-14;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=24620 (дата обращения: 29.11.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074