Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

ПОЛУТЕЛА И ИХ ПУЧКОВЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Вечтомов Е.М.
Введение

Теория полутел - перспективное направление современной алгебры, которое можно рассматривать и как составную часть теории полуколец, и как группы с дополнительной бинарной операцией. Вопросы теории полуколец и полутел исследуются участниками научного алгебраического семинара ВятГГУ с 1994 года.

В данной работе мы кратко изложим основы теории пучковых представлений полутел, начало которой положено в [2]. В этом отношении наиболее полно изучен класс бирегулярных полутел.

Полутелом называется алгебраическая структура, являющаяся одновременно мультипликативной группой и аддитивной коммутативной полугруппой, причем умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. Полутела с добавленным нулем - это в точности полукольца с делением, не являющиеся кольцами. Наряду с кольцами и дистрибутивными решетками полутела с нулем образуют важнейший класс полуколец, играющий существенную роль в структурной теории полуколец. Идемпотентные полутела (полутела с тождеством u+u=u) представляют собой решеточно упорядоченные группы. Полутела связаны с кольцами, поскольку каждое полутело имеет кольцо разностей. Заметим, что сократимые полутела (полутела с квазитождеством u+w=v+wÞu=v) вкладываются в свои кольца разностей.

При исследовании полутел можно применить функциональный метод: изучаемое полутело реализуется в виде полутела сечений пучка некоторых полутел над топологическим пространством. Многие кольца допускают хорошие функциональные (пучковые) представления [1], которые во многом переносятся на полукольца [3].

Введем необходимые понятия. Класс единицы произвольной конгруэнции на полутеле называется ядром полутела. Решетку всех ядер (конгруэнций) полутела U обозначим ConU. Ядро полутела U, порожденное элементом u, назовем главным ядром и обозначим (u). Полутело U назовем конечнопорожденным, если U=(u1)×...×(un) для конечного числа элементов u1,×...,×unU. Ядро (2) полутела U, где 2=1+1, служит наименьшим подполутелом в U, являющимся ядром. Если U=(2), то полутело U называется ограниченным. Решетка ядер любого ограниченного полутела изоморфна решетке идеалов его кольца разностей. Полутело называется редуцированным, если в нем выполняется квазитождество u2+v2=uv+vu→u=v. Полутело U называется дистрибутивным (цепным, простым, неразложимым), если решетка ConU дистрибутивна (соответственно: является цепью, двухэлементна, имеет ровно два дополняемых элемента). Коммутативное полутело называется полуполем.

Аналог пирсовского представления. Для произвольного полутела U определим аналог кольцевого пучкового представления Пирса [1, § 12]. Рассмотрим булеву подрешетку B(U) в ConU всех дополняемых ядер полутела U и пространство M(U) всех максимальных идеалов булевой решетки B(U) со стоуновской топологией. Дизъюнктное объединение П факторполутел U/vM по всем M€M(U) образует структурный пучок полутела U над нульмерным компактом M(U). Обозначим через Г(M(U), П) полутело всех сечений пучка П.

Теорема 1. Любое полутело U изоморфно полутелу Г(M(U), П) сечений пучка П факторполутел полутела U над нульмерным компактом M(U).

Следствие 1. Всякое полутело с конечным множеством ядер изоморфно прямому произведению конечного числа неразложимых полутел.

Полутело, все ядра (главные ядра) которого дополняемы, называется булевым (бирегулярным). Бирегулярные полутела служат аналогами бирегулярных колец. Легко видеть, что бирегулярные полутела дистрибутивны.

Теорема 2. Полутело U бирегулярно тогда и только тогда, когда оно изоморфно полутелу всех сечений некоторого пучка простых и тривиальных полутел (U/vM) над нульмерным компактом (M(U)).

Следствие 2. Всякое бирегулярное полутело разлагается в прямое произведение бирегулярного идемпотентного полутела и бирегулярного ограниченного полуполя, которые определены однозначно с точностью до изоморфизма.

Следствие 3. Во всяком бирегулярном полутеле каждое ядро является пересечением максимальных ядер, а конечнопорожденные ядра - главные.

Ядро P полутела U называется неприводимым, если BcP влечет AcP или BcP для любых ABÎConU. Пространство SpecU всех неприводимых ядер полутела U, взятое со стоуновской топологией, назовем неприводимым спектром полутела U. Его подпространство MaxU, состоящее из всех максимальных ядер, называется максимальным спектром полутела U. Максимальные ядра полутела всегда неприводимы. В любом бирегулярном полутеле U неприводимые ядра максимальны: SpecU=MaxU. Конечнопорожденные полутела соответствуют кольцам с единицей; их максимальный спектр компактен.

Для бирегулярного полутела U отождествим каждое максимальное ядро M€MaxU с максимальным идеалом {A€B(U): AcM} булевой решетки B(U). Тогда нульмерный компакт M(U) будет компактификацией локально компактного пространства MaxU.

Теорема 3. Для любого бирегулярного полутела U равносильны следующие утверждения:

  1. MaxU компактно;
  2. MaxU гомеоморфно M(U);
  3. U - конечнопорожденное полутело;
  4. U=(u) для некоторого элемента uÎU, называемого образующей полутела.

Следствие 4. Конечнопорожденное бирегулярное полутело изоморфно полутелу всех сечений хаусдорфова пучка простых полутел над нульмерным компактом, определяемым однозначно с точностью до гомеоморфизма.

Для ядра A полутела U рассмотрим его псевдодополнение A*={u€U: (uA={1}}. В случае дистрибутивных полутел U псевдодополнение A* являются наибольшим ядром в U, пересекающимся с данным ядром A по единичному ядру {1}. Дистрибутивное полутело назовем бэровским, если псевдодополнение любого его ядра дополняемо.

Предложение 1. Для ядра A полутела Г всевозможных сечений пучка простых полутел над нульмерным компактом X справедливы утверждения:

  1. A дополняемо в Г тогда и только тогда, когда множество ΔA={x€X: Vs€A s(x)=1}открыто-замкнуто в X;
  2. A=B* для некоторого ядра B в Г тогда и только тогда, когда ΔA канонически замкнуто в X, то есть совпадает с замыканием своей внутренности.

Топологическое пространство называется экстремально несвязным, если замыкание любого его открытого множества снова открыто.

Теорема 4. Для того чтобы конечнопорожденное бирегулярное полутело было бэровским, необходимо и достаточно, чтобы его максимальный спектр был экстремально несвязным пространством.

Теорема 5. Полутело U булево тогда и только тогда, когда оно изоморфно полутелу всех сечений пучка простых и тривиальных полутел (U/vM) над нульмерным компактом (M(U)), множество изолированных точек которого (MaxU) всюду плотно.

Следствие 5. Если полутело U булево, то пространство M(U) является компактификацией Стоуна-Чеха дискретного пространства MaxU: M(U)≈βMaxU.

Полутела сечений компактных пучков полутел. Пусть дан пучок П полутел Ux над топологическим пространством X. Для точки x€X положим:

Гх={s€Г: s(x)=1=1xUx} - ядро полутела сечений Г=Г(П, Х);

πx: Г→Ux, πx(s)=s(x) для всех s€Г, - гомоморфизм полутел.

Пучок П называется компактным пучком, если:

  1. X - компакт;
  2. П - факторный пучок, т.е. px является сюръективным отображением для любой точки xÎX;
  3. Гх×Гy=Г для любых точек x¹y из Х.

Всякий компактный пучок П обладает следующим важным свойством: для любых замкнутого множества Y в Х, точки x€XY и неприводимого ядра Рx полутела Ux существует сечение s€Г со значениями 1 на Y и s(хРx.

Предложение 2. Любой пучок полутел над нульмерным компактом компактен.

При исследовании полутел сечений пучков полутел над нульмерным компактом существенную роль играет следующее утверждение.

Предложение 3. Ядра A и B полутела Г(XП) сечений произвольного пучка полутел П над нульмерным компактом X равны тогда и только тогда, когда px(A)=πx(B) для всех точек xX.

Следствие 6. Решетка ядер прямого произведения конечного числа полутел изоморфна прямому произведению решеток ядер сомножителей.

Теорема 6. Максимальные ядра полутела Г(XП) сечений компактного пучка полутел Ux - это в точности ядра вида πx-1(Kx), где x€X и Kx - максимальное ядро в Ux. Если X - нульмерный компакт, то это верно и для неприводимых ядер.

Многие свойства полутел сечений пучков полутел над нульмерным компактом переносятся на полутела-слои, и обратно.

Теорема 7. Полутело Г(XП) сечений любого пучка П полутел Ux над нульмерным компактом X дистрибутивно (ограничено) тогда и только тогда, когда дистрибутивны (ограничены) все его слои Ux.

Полутело называется гельфандовым, если для любых его неравных максимальных ядер M и N найдутся такие элементы u€MN и v€NM, что (u)Ω(v)={1}. Максимальные спектры гельфандовых полутел хаусдорфовы, а каждое их неприводимое ядро может содержаться только в одном максимальном ядре. Следует отметить, что существуют цепные полуполя, не имеющие максимальных ядер.

Полутело U назовем сильно гельфандовым, если для любых двух различных максимальных ядер M и N в U существует элемент u€MN, порождающий дополняемое ядро (u). Полутело, имеющее наибольшее собственное ядро, назовем локальным полутелом. Всякое полутело служит наибольшим ядром некоторого локального полутела с образующей. Бирегулярные полутела и локальные полутела сильно гельфандовы, а сильно гельфандовы полутела гельфандовы.

Теорема 8. Для полутела Г(XП) сечений произвольного компактного пучка локальных полутел имеют место следующие утверждения:

  • 1) Г гельфандово;
  • 2) сильная гельфандовость Г эквивалентна нульмерности компакта Х;
  • 3) если Г конечно порождено, то MaxГ гомеоморфно Х.

Теорема 5 и утверждение 3) теоремы 7 являются пучковыми вариациями классической теоремы Гельфанда-Колмогорова о кольцах непрерывных функций.

Аналог ламбековского представления. В теории колец применяется также представление Ламбека [1, § 11]. Распространим эту конструкцию на полутела.

Для произвольного неприводимого ядра P полутела U положим OP={u€U: Ξ v€UP (u)Ω(v)={1}}. Если полутело U дистрибутивно или является редуцированным ограниченным полутелом, то OP (P€SpecU) суть его ядра, пересечение которых равно {1}. При этом существует точное представление полутела U сечениями структурного пучка П факторполутел U/OP над топологическим пространством SpecU.

Теорема 9. Любое редуцированное ограниченное полутело U изоморфно полутелу Г(SpecU, П) сечений пучка П факторполутел U/OP над неприводимым спектром SpecU.

Следствие 7. Всякое гельфандово дистрибутивное редуцированное ограниченное полуполе изоморфно полуполю всех сечений компактного пучка цепных ограниченных полуполей.

Теорема 10. Конечнопорожденное дистрибутивное полутело U сильно гельфандово тогда и только тогда, когда оно изоморфно полутелу Г(X, П) сечений пучка П локальных полутел Ux над нульмерным компактом X.

Здесь в качестве X можно взять максимальный спектр MaxU, а в качестве слоев UM - факторполутела U/OM.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Вечтомов Е.М. Функциональные представления колец: монография. - М.: МПГУ, 1993. - 190 с.
  2. Вечтомов Е.М., Черанева А.В. К теории полутел// Успехи математических наук. - 2008. - Т.63. Вып. 2.
  3. Чермных В.В. Полукольца: учебное пособие. - Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1997. - 131 с.

Библиографическая ссылка

Вечтомов Е.М. ПОЛУТЕЛА И ИХ ПУЧКОВЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ // Современные наукоемкие технологии. – 2008. – № 4. – С. 106-109;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=23773 (дата обращения: 23.10.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074