При строительстве сооружений на воде часто происходят ситуации, когда строительный элемент забивают в грунт не вертикально, нахождение строительного элемента не соответствует различным требованиям ГОСТов и СНИПов. В результате чего или перерабатывается проектная документация ведения установки строительных элементов и устанавливается новый строительный элемент, или проводится срезание/извлечение из грунта установленного не вертикально строительного элемента. Принципиальная схема извлечения строительного элемента из донного грунта с помощью артиллерийских систем на поверхности спокойной воды приведена в работе [1]. Но этот процесс тяжел в реализации в условиях строительства на поверхности воды, так как практически всегда наблюдаются колебательные процессы, и поведение установки в такой ситуации может дать крайне негативные результаты: опрокидывание системы, повреждение строительным элементом установки и т.д. Но извлечение строительного элемента довольно трудоемко, особенно если производится на глубине водного слоя, большего, чем длина строительного элемента. Поэтому разработка системы, позволившая извлекать строительный элемент из донного грунта на любой глубине для системы, колеблющейся на поверхности воды, крайне необходима.
Целью данной работы становится задача построения математической модели системы, позволяющей извлекать строительные элементы из донного грунта с понтона, находящегося на поверхности неспокойной воды, т.е. при наличии колебаний системы «понтон – артиллерийское орудие», обусловленных, например, волнами на водной поверхности.
Математическая модель колебания системы на поверхности неспокойной воды
Для начала стоит отметить, что условные обозначения, принятые в работе, аналогичные, что и в работе [1]. К ним добавлены следующие обозначения для описания колебательного процесса на поверхности воды: B, B1 – амплитуда колебания поверхности воды по соответствующим осям, w – угловая скорость колебания поверхности воды.
Для начала построим математическую модель поведения системы «понтон – артиллерийское орудие» для извлечения строительного элемента из донного грунта на поверхности неспокойной воды. Допустим, что колебания поверхности воды имеют синусоидальный вид. Уравнения описывающие колебания поверхности воды следующие: по оси Х – 
, по оси Y – 
. Как и в предыдущей статье [1], артиллерийское орудие расположено по середине понтона. На рисунке представлена система сил, действующих на плавающий понтон с артиллерийским орудием и поршнем, расположенных на поверхности неспокойной воды, в момент застреливания строительного элемента.
Схема расположения установки в момент выстрела: 
– вес артиллерийского орудия с платформой и противовесом, 
– сила Архимеда, 
– сила сопротивления движению платформы по соответствующим осям координат, 
– сила противодействия выстрелу/отдачи артиллерийского орудия, 1 – поверхность воды, 2 – строительное артиллерийское орудие, 3 – платформа
Движение жесткосвязанной системы «понтон – артиллерийское орудие» происходит в трех плоскостях, с обобщенными координатами: x, y, φ. Запишем уравнение Лагранжа для системы:
,
где T – кинетическая энергия перемещения системы по оси Y, Q – обобщенная сила, q – обобщенная координата.
Кинетическая энергия T имеет вид
,
где M – масса системы.
Обобщенная сила имеет вид
.
В системе действуют пять разнонаправленных сил: 
– вес системы «понтон – артиллерийское орудие», 
– сила Архимеда, действующая на установку «понтон – артиллерийское орудие», 
– сила сопротивления движению по соответствующим осям X, Y координат, 
– сила противодействия выстрелу/отдачи артиллерийского орудия. Чтобы найти обобщенную силу, найдем проекции системы сил на оси X, Y, а так же радиус-вектор от точки O до точки приложения каждой силы:
, 
,
, 
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
где a, b, H0 – линейные размеры понтона, находящиеся в воде.
Подставив полученные значения в уравнение Лагранжа, получим соотношения
Начальные условия для полученной системы уравнений следующие:
,
где x0, 
, y0, 
, 0, 
– значения соответствующих переменных в момент времени t0.
Математическая модель извлечения строительного элемента из донного грунта на поверхности неспокойной воды
Определимся изначально с основными допущениями и понятиями. К допущениям и понятиям, описанным в работах [1–3], необходимо добавить следующее допущение:
1) колебания поверхности воды – периодические, установившиеся во времени по амплитуде колебания, которые возможно описать уравнением синусоидального вида;
2) система «понтон – артиллерийское орудие» закреплена на донном грунте;
3) артиллерийское орудие в момент выстрела должно иметь вертикальное положение относительно донного грунта.
Тогда можно рассматривать систему сил, действующих на систему «артиллерийское орудие – понтон – строительный элемент» в момент застреливания. Схема установки с описанием сил, действующих на систему, описана в предыдущей статье [1] и полностью, без изменений, применяется в данной работе.
Для представленной установки извлечения из донного грунта строительного элемента [1] выделим, как и в работах [4, 5], пять основных этапов извлечения. Первый – предварительный период выстрела. Второй – первый период выстрела, и движение поршня и строительного элемента вверх, а артиллерийского орудия с понтоном вниз. Третий – второй период выстрела, и движение поршня и строительного элемента вверх, а артиллерийского орудия с понтоном вниз. Четвертый – движение поршня и строительного элемента вверх отдельно понтона. Пятый – колебание артиллерийского орудия с понтоном отдельно от строительного элемента.
В данной работе будут описаны только изменения, которые описывают неспокойную поверхность воды в отличие от модели, построенной для извлечения строительного элемента на поверхности спокойной воды [1].
На первом этапе работы установки по извлечению строительного элемента уравнение для определения относительной части сгоревшего пороха остается аналогичным, что и в работе [1].
Для второго этапа работы установки по извлечению строительного элемента система уравнений будет иметь вид, аналогичный, что и для второго этапа извлечения строительного элемента в работе [1], за исключением добавленных уравнений колебания системы «понтон – артиллерийское орудие»:
К начальным условиям, описанным в работе [1], добавлены следующие условия: 
, 
, 
, 
, 
, 
– координаты точки положения системы до выстрела.
Для третьего и четвертого этапа работы установки по извлечению строительного элемента из донного грунта система уравнений будет иметь вид, что и в работе [1], но с добавлением уравнений колебания системы «понтон – артиллерийское орудие» для второго этапа.
Начальными условиями для системы уравнений будут следующие значения, полученных переменных p(t), v(t), V(t), L(t), Ln(t), x(t), 
, y(t), 
, φ(t), 
для решения системы уравнений в конце второго и третьего этапа соответственно.
После выхода поршня со строительным элементом из ствола артиллерийского орудия наступает последний пятый этап. На этом этапе понтон продолжает колебательное движение под действием силы противодействия выстрелу/отката и колебания поверхности воды. Система уравнений, описывающая поведения системы «понтон – артиллерийское орудие» принимает следующий вид:
,
,
.
Начальными условиями для системы уравнений будут
,
где t4 – время конца четвертого этапа, 
– значение соответствующих переменных в конце четвертого этапа.
Отдельно необходимо отметить, что полученные системы дифференциальных уравнений полностью описывают поведение установки по извлечению строительного элемента из донного грунта с помощью артиллерийской системы на поверхности неспокойной воды при допущениях, сделанных в начале статьи.
Далее рассмотрим численные значения, полученные в результате проведенных расчетов в пакете MathCad.
Результаты численных экспериментов
Рассмотрим конкретный пример задачи по извлечению строительного элемента из донного грунта, описанного в работе [1]. В качестве параметров установки взяты: модернизированная пушка М-46 (М-47) и военный понтон с характеристиками, приведенными ниже. При расчетах используются параметры, описанные в работе [1] и параметры колебаний поверхности воды: w = 1,4 рад/с, B1 = 0,25 м, B = 0,25 м, что соответствует поведению поверхности воды при ветре до 10 м/с.
Для решения задачи используется численный метод Рунге – Кутты 2-го порядка с шагом t = 10-6 сек. Как показали множества проведенных численных расчетов, приведенные в работах [4–6], – это оптимальный шаг для получения численных результатов, обеспечивающих относительную погрешность до 5 % при верификации моделей выстрела натурными экспериментами. Для проведения численных экспериментов использовано ПО MathCad версии 14, обеспечивающее решение систем уравнений для пяти этапов с начальными условиями, описанными выше.
Так как система «понтон – артиллерийское орудие» закреплена к донному грунту, то движение по оси Х нет. В результате проведенных расчетов получены такие результаты.
Первый этап – Ψ0 = 5,86•10-4.
Второй этап – p/t = 0,009 = 1,854•108 Па, v/t = 0,009 = 17,959 м/с, Ψ/t = 0,009 = 0,999, L/t = 0,009 = = 0,091 м, Ln/t = 0,009 = 7,750•10-5 м, V/t = 0,009 = = 0,266 м/c, y/t = 0,009 = 0,073 м, φ/t = 0,009 = = 0,023 рад.
Третий эта – p/t = 0,032 = 1,6•103 Па, v/t = 0,032 = 0 м/с, L/t = 0,032 = 2,243 м, Ln/t = 0,032 = = 0,246 м, V/t = 0,032 = 0,342 м/c, y/t = 0,032 = = 0,145 м, φ/t = 0,032 = 0,053 рад.
На третьем этапе поршень остановился в артиллерийском орудии, но извлекаемый строительный элемент полностью вышел из грунта.
Четвертый этап – L/t = 0,123 = 2,243 м, y/t = 0,123 = 0,222 м, φ/t = 0,123 = 0,071.
Строительный элемент извлечен из грунта полностью, на величину L = 3,243 м.
Пятый этап – максимальная амплитуда колебания установки после выстрела равна y = 0,293 м.
Результат численного эксперимента при описанных выше параметрах и при наличии колебательных процессов на поверхности воды показывает, что максимальная амплитуда колебания системы изменяется на 0,02 м, т.е., 8 % по сравнению с результатом численного эксперимента при отсутствии колебаний поверхности воды. А угол отклонения от вертикальной оси равен 4 град. При этом колебания понтона являются затухающими, а амплитуда колебания понтона не превышает 29 % от его высоты.
Технические требования и рекомендации
Технические требования и рекомендации могут быть те же, что и для системы, рассматриваемой на поверхности спокойной воды. Отдельно необходимо заметить, что для минимизации угла отклонения от вертикального положения артиллерийского орудия относительно поверхности грунта и, соответственно, исключения опрокидывания системы необходимо ввести в конструкцию устройство отслеживания горизонтального положения платформы/вертикального положения артиллерийского орудия.
Понтон:
Численные эксперименты для понтонов, описанных в работе [1], показали, что использовать такие понтоны возможно в случае наличия колебания на поверхности воды, описанного выше. При этом максимальная амплитуда колебания легкого понтона [1] с артиллерийским орудием будет равна 0,49 м, и угол отклонения от вертикальной оси составит 15 град, что не ограничивает его использование при данных параметрах.
Строительный элемент:
Численные расчеты по извлечению различных типов строительных элементов, описанных в работе [1], не изменяются, так как не изменяются параметры влияющие на силы, действующие на строительный элемент в процессе извлечения.
Заключение
В результате проведенных вычислений полученные численные значения поведения установки «артиллерийское орудие – поршень – строительный элемент – понтон – вода – грунт» показывают возможность извлечения строительного элемента из донного грунта с понтона, находящегося на поверхности неспокойной воды, с применением артиллерийских орудий. Колебания установки «понтон – артиллерийское орудие» при этом после выстрела относительно вертикальной оси небольшие – до 0,3 м – и затухающие.