1. Постановка задачи. Рассмотрим плоское стационарное турбулентное движение тяжёлой [1] вязкой жидкости по наклонной плоскости под действием силы тяжести (1).
Здесь ,
- проекции средней скорости частиц жидкости на оси Ox, Oz ;
,
=
,
- составляющие тензора напряжений в осредненном движении жидкости (2).
,
,
,
,
. (1)
,
,
, (2)
где p¯ - осредненное гидродинамическое давление.
Функции Rxx, Rxz, Rzz - добавочные напряжения Рейнольдса, представляющие суммарный эффект всех беспорядочных отклонений скоростей u´x, u ´z от их средних значений u¯x, u¯z : ,
.
Функции ,
- сглаженные нелинейные слагаемые, порожденные отклонениями скоростей u´x, u´z от их средних значений u¯x, u¯z . Постоянная ρ - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения, μ - коэффициент внутреннего трения (коэффициент вязкости), μ =pv, v - кинематический коэффициент вязкости. Начало координат взято на неподвижной наклонной плоскости Oxy. Ось Oy - горизонтальна, ось Oz направлена перпендикулярно к плоскости вверх, ось лежит в наклонной плоскости и направлена вниз по направлению потока. Из всех массовых сил действует только сила тяжести (жидкость тяжёлая [1]): Fx =0 ,Fz = -g.
Считаем, что турбулентное движение жидкости в среднем происходит в направлении оси Ox и, что средняя скорость этого плоского движения существенным образом зависит лишь от координаты z: ,
,
. В этом случае наиболее существенным из добавочных напряжений является лишь
[2]. То есть, полагаем Rxx = 0, Rzz = 0 . Во многих источниках указывается, что турбулентное трение намного больше внутреннего трения. Поэтому во всём потоке
, кроме тонкого вязкого подслоя
, вблизи дна, полагаем
,
,
, то есть, фактически в области
рассматриваем турбулентное движение идеальной жидкости без учета внутреннего трения, кроме тонкого вязкого подслоя вблизи дна, в котором рассматривается ламинарное движение вязкой жидкости [2].
Уравнение неразрывности для средних скоростей u¯x, u¯z и их пульсаций u´x, u´z имеют вид:
,
. (3)
Из первого уравнения (3) при u¯z = 0 выводим, что . С учетом всех допущений, предположений и выводов из (1) следует:
,
. (4)
Эти уравнения выполняется в области , где h - толщина потока, δ - толщина ламинарного подслоя. Согласно [2] имеем:
,
. (5)
Постоянная k определяется из эмпирических данных [2].
Считаем, что сверху при z=h (h - толщина потока) поток ограничен свободной поверхностью, на которой выполняется динамическое условие равенства нормального напряжения в жидкости атмосферному давлению p0=const. Условие равенства нулю касательного напряжения на свободной поверхности выполняется тождественно, так как турбулентный поток рассматривается без учёта внутреннего трения (μ =0 ). Кинематическое условие на свободной поверхности выполняется автоматически, так как мы полагаем . Зададим значение скорости u¯x на свободной поверхности:
На границе раздела вязкого подслоя и турбулентного потока ставятся условия равенства скоростей и напряжений. На неподвижной наклонной плоскости ставится условие равенства нулю скорости (условие прилипания). Итак, к системе (4), (5) формулируем следующие граничные условия:
,
,
,
,
;
,
. (6)
Здесь - скорость стекания вязкой жидкости в ламинарном подслое,
- добавочное напряжение на границе ламинарного пограничного слоя (вязкого подслоя), δ - толщина ламинарного подслоя.
Введём ещё в рассмотрение расход жидкости Q через поперечное сечение потока:
(7)
2. Решение задачи (4)-(6). Из второго уравнения в (4) с учетом первого условия в (6) находим.
(8)
Подставляя (8) в первое уравнение в (4), выводим:
,
,
. (9)
Из (5), (9) находим:
(10)
Считая кривизну функции положительной, в (10) выбираем знак плюс.
Интегрируя (10) в пределах от δ до z, получаем представление для :
,
. (11)
Интегральное соотношение Кармана [2] приводит к равенству:
. (12)
То есть, на границе ламинарного подслоя «сшиваются» не только скорости, но и их первые производные. Для ламинарного вязкого подслоя имеем [2]:
,
,
,
. (13)
Теперь из (11) и (13) выводим:
,
. (14)
Интегрируя (14), находим u¯x:
,
. (15)
Два уравнения в (15) связывают две величины τ0 и δ.
В настоящее время существуют приборы, позволяющие определять касательные напряжения на поверхностях, по которым движется вязкая жидкость [3, 4]. Поэтому в уравнениях (15) касательное напряжение на дне τ0 можно считать известным. Полагая в (15) z=δ и используя (13), выводим уравнение:
. (16)
Из уравнения (16) определяется δ по итерационному процессу, который сходится при значениях много меньших единицы:
,
. (17)
Теперь можно вычислить расход Q по формуле (7).Формулы (7), (8), (13), (15) и (17) дают решение задачи о турбулентном движении вязкой жидкости по наклонной плоскости с учётом вязкого подслоя.
Если касательное напряжение на дне неизвестно, но известен расход Q, то равенство (7), с учётом формул (13), (15) и (17) представляет собой уравнение для τ0, которое должно быть решено численно.
Список литературы
- Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч. I, М., физматгиз 1963 г., 584 с.
- Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч. II, М., физматгиз 1963 г., 728 с.
- Рябинин А.Н. Моделирование пограничного слоя вблизи морского дна с переносимыми твёрдыми частицами. // Труды X Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики».- СПб.: Наука, 2010, С. 264-266.
- Компаниец Л.А., Якубайлик Т.В., Питальская О.С. Опыт использования современных измерительных приборов для определения гидродинамических режимов водоёма. // Труды X Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики».- СПб.: Наука, 2010, С. 310-312.