Свойства золотого сечения описываются уравнением: x2 - x - 1 = 0.
Решение этого уравнения:
. Это иррациональное число, приближенно равное 1,6180339887...
Рисунок 1. Геометрическое изображение золотой пропорции
С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» , в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифp
|
Месяцы |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
и т.д. |
|
Пары кроликов |
0 |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
89 |
и т.д. |
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение - 0,618 : 0,382 - дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.
Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения.
Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.
Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором - это сумма двух предыдущх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи?
Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого - единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через φS(n), то получим общую формулу φS(n) = φS(n - 1) + φS (n - S - 1). Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 - ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.
В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения x s-1 - xs -1 = 0 . Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 -знакомое классическое золотое сечение.
Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями. Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.
Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезe о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики - новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.
С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами. Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S > 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения - числа рациональные. И лишь позже - после открытия пифагорийцами несоизмеримых отрезков - на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа - 10, 5, 2, - из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.
Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.
В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной - а не бесконечной, как думали ранее! - суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик.
Литература:
- Журнал "Наука и техника"
- Воробьев Н.Н. "Числа Фибоначчи" - М.: Наука 1964
- Стахов А. Коды золотой пропорции.