Обширный класс современных строительных конструкций имеет своей основой тонкостенные стержневые профили, соединенные между собой. В этих профилях возникает сложное напряженное состояние, частью которого является кручение. Задача о кручении стержня углового прокатного профиля является частным случаем задачи Ламе, в которой в вершине входящего угла теоретические значения напряжений стремятся к бесконечности [1]. Решение задач с такими сингулярностями является сложной математической проблемой. Результаты исследований напряжений, возникающих при деформировании прокатных профилей, являются темой большого числа научных публикаций.

Обзор литературы по исследованию стыковых соединений тонкостенных стержней и оболочек выполнен в [2]. Рассмотрены различные теоретические, численные и экспериментальные подходы к моделированию, анализу и проектированию тонкостенных структур, соединенных вдоль их общих границ. Рассмотрено несколько альтернативных форм граничных условий, условий непрерывности и скачков на сингулярных срединных кривых, моделирующих соединение.

В [3] выполнено конечно-элементное и экспериментальное моделирование нового типа многоплоскостного соединения для изменения уклона в длинно-пролетной передающей башне линии высоковольтной электропередачи. Помимо изгибающих моментов, в элементах системы наблюдались крутящие моменты и соответствующие напряжения.

В [4] решалась теоретическая задача Дирихле для уравнения Пуассона для стержня квадратного поперечного сечения с применением серендиповых конечных элементов. Доказано, что в задаче расчета кручения стержня квадратного сечения методом конечных элементов (МКЭ) новые альтернативные модели биквадратичного конечного элемента позволяют получить большую точность в сравнении с известным стандартным элементом.

Вопрос о введении нового конечного элемента для расчета кручения стержня открытого профиля рассмотрен в [5]. Выполнено сравнение аналитического и численного решений для стержня двутаврового сечения без учета и с учетом деформаций сдвига с использованием двух видов аппроксимации для функций формы.

Таким образом, тема исследования напряженного состояния тонкостенных угловых профилей является актуальной, содержащей множество неизученных теоретически и практически важных вопросов. В связи с этим есть проблема выбора адекватного инструмента численного анализа возникающих краевых задач. Коммерческие программы часто недоступны по цене для исследователя, в то время как свободно распространяемые продукты могут быть сопоставимы с ними по качеству результатов.

Одним из таких пакетов является FreeFEM++ [6]. Он применялся в [7] к исследованию задачи об установившейся вибрации предварительно напряженной пластины на основе модели Кирхгофа. Дана оценка точности решения прямой задачи для узкой однородной пластины методом конечных элементов путем сравнения с аналитическим решением. Анализ продемонстрировал высокую точность решения МКЭ, и сделан вывод о том, что пакет FreeFEM++ предоставил адекватные численные результаты для рассмотренной пластины.

Целью данной статьи является исследование возможности применения пакета FreeFEM++ к анализу напряженно-деформированного состояния при кручении стержня углового профиля, и разработка алгоритма этого анализа. Основным методом исследования является сравнение численного решения задачи МКЭ с известным из литературы решением.

Поставлены задачи:

1. Создания алгоритма нахождения и визуализации решения МКЭ в пакете FreeFEM++.

2. Сравнения результатов расчетов кручения стержня:

а) круглого сечения;

б) углового сечения с толстыми стенками;

в) тонкостенного углового сечения.

Рассматривается упругий стержень с поперечным сечением, представленным на рис. 1. Ставится задача о свободном кручении этого стержня двумя равными по модулю и противоположными по направлению крутящими моментами, приложенными к его концам. Краевая задача будет решаться в области Ω с границей L₀, рис. 1.

Рис. 1. Геометрия поперечного сечения

Известно [8], что выбором вида решения задача о кручении стержня сводится к краевой задаче для уравнения Пуассона:

(1)

где U(x, y) – функция напряжений Прандтля. Для односвязных стержней:

U = 0 на границе области L0. (2)

Касательные напряжения находим как

где G – сдвиговый модуль Юнга.

Угол закручивания на единицу длины стержня θ определяем из выражения для крутящего момента [8]:

M = Cθ,

где C – крутильная жесткость стержня, для сплошных стержней определяется как [9]

Итак, будем решать краевую задачу Дирихле для уравнения Пуассона (1), (2).

Материалы и методы исследования

С помощью пакета FreeFEM++, который позволяет строить численное решение двумерных краевых задач методом конечных элементов, решены задачи о кручении стержня круглого и углового поперечного сечения.

Алгоритм решения задачи во FreeFEM++:

1. Запишем задачу (1), (2) в вариационной постановке

(3)

где f = 2.

2. Зададим на языке FreeFEM++ поперечное сечение стержня – область в параметрическом виде, в которой решается задача.

3. Произведем триангуляцию области при помощи встроенного генератора сеток, основанного на алгоритме Делоне – Вороного.

4. Приближенное решение задачи (3) ищем в виде

(4)

где φ_k(x, y) – базисные функции, в качестве которых выбраны кусочно-линейные непрерывные конечные элементы (барицентрические координаты), ck – коэффициенты, подлежащие определению. Таким образом, формула (4) задает аппроксимацию функции U(x, y) в виде некоторого сужения на конечномерное пространство, определяемое базисом φ_k(x, y), k = 1..n – 1.

5. Запишем на языке FreeFEM++ вариационную формулировку задачи с краевыми условиями и зададим способ решения СЛАУ (по умолчанию несимметричный мультифронтальный метод решения разряженных систем линейных уравнений).

6. Определим крутильную жесткость стержня C и угол закручивания на единицу длины θ средствами языка FreeFEM++.

7. Найдем касательные напряжения τ_xz и τ_yz и выполним их визуализацию. Средства пакета FreeFEM++ позволяют сохранять построенные изображения в postscript файл при помощи команды plot c параметром ps.

Численный эксперимент проведен со следующими параметрами: G = 80 ГПа, M = 10 кН·м, для задачи А) о кручении стержня круглого поперечного сечения R = 40 мм; для задачи Б) о кручении стержня углового профиля b = 80 мм, d = 38 мм; для задачи В) о кручении стержня углового профиля b = 80 мм, d = 8 мм.

Результаты исследования и их обсуждение

Задача А. В результате вычислений по представленной выше методике сформированы изображения распределений значений касательных напряжений в круговом стержне, представленные на рис. 2.

Максимальные и минимальные значения касательных напряжений приведены в табл. 1.

Таблица 1

Предельные значения касательных напряжений в стержне круглого сечения

Найдены значения крутильной жесткости стержня C = 321 699 Н·м2 и угла закручивания на единицу длины θ = 0,031.

а) б)

Рис. 2. Касательные напряжения в стержне круглого профиля: а) τ_xz, Па; б) τ_yz, Па

Сравнение полученных результатов проведено с источником [9, с. 92], где крутильную жесткость можно определить по формуле

из которой получено значение 321 699 Н·м2, что согласуется с численным результатом.

Для задач Б и В результат распределения значений касательных напряжений в стержне углового профиля, представлен на рис. 3 и 4.

Максимальные и минимальные значения касательных напряжений для обеих задач сведены в табл. 2.

Жесткость при кручении прокатных профилей приближенно можно вычислить по формуле [8, с. 266]:

(5)

где a и h – высота и толщина отдельных прямоугольников. Коэффициент α учитывает влияние соединения отдельных прямоугольников для . Экспериментальные значения коэффициента α [8, с. 266] и рассчитанные для него крутильная жесткость и угол закручивания, а также результаты расчета во FreeFEM++ приведены в табл. 3.

Из табл. 3 видно, что значения крутильной жесткости и угла закручивания, полученные при помощи пакета FreeFEM++, находятся в допустимом диапазоне значений.

Заключение

Создан алгоритм численного анализа и визуализации его результатов для решения задачи о свободном кручении стержня углового прокатного профиля методом конечных элементов в пакете прикладных программ FreeFEM++. Полученные численные результаты хорошо согласуются с известными решениями задач о кручении стержней круглого, углового и тонкостенного углового профилей.

а) б)

Рис. 3. Касательные напряжения в стержне углового профиля задача Б: а) τ_xz, Па; б) τ_yz, Па

а) б)

Рис. 4. Касательные напряжения в стержне углового профиля задача В: а) τ_xz, Па; б) τ_yz, Па