Оценке техногенной безопасности и риска посвящено немалое количество работ [1, 3–8, 9–11]. На взгляд автора, интересным представляется применение к этой проблеме теории катастроф [2], в частности, ее применение к оценке несущей способности конструкций.

В качестве изучаемой конструкции определим главную балку металлургического мостового крана.

Металлургические мостовые краны относятся к крупногабаритным техническим конструкциям. Они могут быть описаны потенциальной функцией, минимум которой определяет локально устойчивое состояние конструкции. Значительные нагрузки, которые испытывают элементы данных конструкций, могут привести к разрушению. Равновесие, устойчивость и потеря устойчивости – вопросы, которые рассматриваются теорией катастроф [2].

Металлургические мостовые краны состоят из очень большого числа элементов. Анализ процесса разрушения проводится методами теории бифуркаций [2].

Для описания реальной конструкции введем координаты системы которые будут представлять нагрузку, эксплуатационные дефекты и дефекты, возникающие при изготовлении элементов:

, (1)

где Е – общая энергия системы, KЕ – кинетическая энергия, РЕ – потенциальная энергия.

(2)

Конструкция определяется минимумом Е, и в этом случае условия равновесия, устойчивости и потери устойчивости:

(3)

Как правило, действующие конструкции металлургических мостовых кранов практически никогда полностью не соответствуют проектируемым рабочим параметрам.

Но можно предположить состояние чувствительности конструкции к дефектам, которые могут быть в ней обнаружены [2]. Тогда потенциальную функцию рассматриваемой конструкции (в предположении, что она идеальна) разложим в ряд вблизи состояния равновесия, устойчивого при малых внешних нагрузках [2]:

+ члены высокой степени. (4)

Постоянный член не имеет большого значения и может быть опущен, кроме этого, будет отсутствовать в силу того. что первая производная от потенциальной функции в точке 0 будет равна 0. Таким образом, полученный ряд Тейлора будет начинаться только с квадратичных членов, а его коэффициенты будут определяться функциями управляющих параметров с 

При отсутствии дефектов (идеальный случай) определяющими параметрами являются только внешние силы F, действующие на конструкцию.

Реальные конструкции, работающие в тяжелых современных условиях, далеки от совершенства. Критическую нагрузку Fc, которую не выдержит такая конструкция, можно определить из условия:

(5)

Конечно, реальная конструкция имеет меньшую несущую способность, чем идеальная: Fc ≤ Fp.

Таким образом, при помощи теории катастроф можно представить снижение несущей способности конструкции основной балки металлургического мостового крана в количественном виде [2]:

(6)

где k – положительная постоянная, p – положительная рациональная дробь, ε – параметр несовершенства конструкции. Чувствительность к несовершенству при различных показателях р приведена на рис. 1 [2]: чем меньше р, тем выше чувствительность к несовершенству.

Рис. 1. Чувствительность к несовершенству при различных значениях р

Для металлургических мостовых кранов основной причиной снижения несущей способности конструкции могут быть соответствующие динамические нагрузки. При этом среднюю кинетическую энергию будем рассматривать как динамический параметр несовершенства.

Динамическая чувствительность к несовершенству определится:

(7)

Физически это означает, что система остается в локально устойчивом состоянии при нулевых и малых колебаниях до тех пор, пока кинетическая энергия не станет настолько большой, что система может перейти потенциальный барьер в другую равновесную конфигурацию.

Основная балка моста крана – конструкция, работающая на изгиб. Если малые нагрузки не вызывают деформации балки, то чрезмерные нагрузки могут привести к потере ею несущей способности – разрушению. Определим критическую нагрузку – то есть то, что будет происходить с конструкцией при промежуточных нагрузках. Тогда равновесная форма такой балки при отсутствии нагрузки определится:

(8)

Вычисления ряда Фурье могут быть выполнены в бесконечномерном пространстве состояний, в котором переменными состояния являются его коэффициенты а. В критическом случае такое пространство может быть заменено конечномерным. Для этого будет достаточно ограничиться двумя первыми коэффициентами ряда Фурье:

(9)

Эти два коэффициента не являются независимыми, а связаны между собой условием постоянства длины балки моста крана.

Энергия, накопленная в балке моста металлургического крана, может быть определена [8]:

(10)

где B – изгибная жесткость.

Таким образом, математически разрушающаяся главная балка металлургического мостового крана может быть описана с помощью катастрофы двойной сборки. При возрастании нагрузки F потеря несущей способности может наблюдаться при меньших а2, а при приближении нагрузки к критической даже при незначительных значениях может произойти разрушение моста крана.

Физически это происходит следующим образом. Вертикальная сила, приложенная в общем случае к центру балки моста, стремится сместить ее центр тяжести вниз. Для этого необходимо прибавить к форме моста высшие гармоники, что возможно только при увеличении энергии прогиба (изгиба).

Наиболее общий вид деформации ростка катастрофы сборки ± х4:

(11)

Система будет оставаться в локальном устойчивом состоянии до тех пор, пока не достигнет бифуркационного множества.

Рассмотрим уменьшение несущей способности балки моста при динамическом нагружении [2]. Критическая нагрузка определится из выражения:

(12)

(13)

Кроме того, уменьшение несущей способности конструкции может быть определено из масштабных соображений, что в нашем случае очень уместно.

(14)

Высокая чувствительность к статическому несовершенству перекрывается еще большей чувствительностью к динамическому несовершенству. Поверхность потери несущей способности конструкции может быть построена исходя из канонических свойств катастрофы сборки. Можно представить поверхность разрушения в пространстве F – ΔE – ε1 в относительных единицах [8]:

Рис. 2 Поверхность разрушения в пространстве F – ΔE – ε1

Таким образом, существует один объективный критерий: система разрушается при превышении предела критической нагрузки.