В описании автоматических систем и их элементов используются линейные дифференциальные уравнения. Примером таких автоматических систем может служить функциональная схема автоматической системы управления курсом судна типа АИСТ с гидроприводом (ГП) руля. В работе показаны различные методы решения линейных дифференциальных уравнений.

Решим дифференциальное уравнение с начальными условиями операционным методом.

.

Сущность метода состоит в том, что мы изучаем не саму функцию, а ее изображение по Лапласу. Перейдем к операторному преобразованию:

.

Подставив начальные условия, получим уравнение:

Используя метод неопределенных коэффициентов, операторное решение уравнения представим в виде суммы простейших дробей:

.

По таблице преобразования Лапласа решение линейного дифференциального уравнения:

.

Решим это же дифференциальное уравнения с помощью рядов.

.

Пусть частное решение это ДУ допускает разложение в степенной ряд Маклорена.

Вычисляем коэффициенты , решение ДУ имеет вид:

А еще представим решение линейного дифференциального уравнения в виде:

Корнями характеристического уравнения являются комплексные числа

Следовательно,

.

Частное решение согласно функции e-t определяем по виду

Из начальных условий коэффициенты

.

Итак,

.

В работе использованы три способа решения ЛНДУ. Ряды дают приближенное решение уравнения, два других способа определяют его точное решение.