Операционное исчисление можно применять для широкого класса кусочно-непрерывных функций f(t) и функцией, заданных графически. Это может быть, например, входной сигнал, действующий на систему автоматического регулирования:

Запишем аналитическое выражение оригинала с помощью единичной ступенчатой функции:

f(t) = (1 – t)(η(t) – η(t – 1) + (t – 2)η(t – 2),

где

Решим задачу Коши

x″ – 9x = f(x),

где x(0) = 0, x′(0) = 1, где f(t) – функция, рассмотренная выше.

Решение:

1. Перейдем от оригиналов к изображениям:

x(t) = X(p),

x″(t) ↔ p2X(p) – px(0) – x′(0) = p2X(p) – 1.

f(t) можно преобразовать:

f(t) = η(t) − tη(t) + (t − 1)η(t − 1) + (t − 2)η(t − 2).

Тогда, используя теорему запаздывания, изображение этой функции:

Запишем уравнение для изображений:

2. Найдем X(p) – изображение решения исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:

3. По таблице соответствия изображений оригиналам, найдем x(t):

Т.о. решение дифференциального уравнения имеет вид: