Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,021

МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖЕСТКОГО РОТОРА НА ПОДАТЛИВЫХ ПОДШИПНИКАХ

Сафина Г.Ф. 1
1 ФГБОУ ВО «Башкирский государственный университет» Нефтекамский филиал
Рассмотрена прямая спектральная задача определения частот свободных колебаний жесткого ротора, закрепленного с обоих концов подшипниками на податливых опорах. Смоделирована динамическая модель ротора с подшипниками, совмещенная с трехмерной координатной системой, выбраны обобщенные координаты. По конечному набору степеней свободы получены дифференциальные уравнения для центра тяжести ротора и его поворотов относительно осей координат. С учетом совершаемых малых гармонических колебаний ротора на подшипниках найдено вековое уравнение задачи, по которому определяются частоты четырех нормальных форм колебательного процесса. Приведен пример решения прямой задачи. С использованием математических моделей проведено исследование влияния на частоты колебаний ротора его физических характеристик, таких как масса ротора, жесткости податливых опор в различных направлениях. Показано, что увеличение массы ротора ведет к уменьшению частот колебаний, а увеличение коэффициентов жесткости опор как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях ведет к увеличению частот колебаний ротора. Причем одновременное увеличение всех параметров жесткости ведет к более сильному росту значений частот колебаний. Приведены таблицы, подтверждающие установленные зависимости. Решение поставленных задач сопровождается применением стандартных команд математического пакета Maple. Проведенные исследования прямой спектральной задачи учитываются при решениях проблем сохранения безопасных частот колебания ротора.
ротор на подшипниках
свободные колебания
собственные частоты
вековое уравнение
физические параметры
1. Вульфсон И.И. Динамика машин. Колебания. М.: Юрайт, 2017. 275 с.
2. Гольдин А.С. Вибрация роторных машин. М.: Машиностроение, 2000. 344 с.
3. Костюков В.Н., Науменко А.П., Бойченко С.Н., Тарасов Е.В. Основы виброакустической диагностики машинного оборудования. Омск: НПЦ ДИНАМИКА, 2007. 286 с.
4. Бьюи Х.Д. Механика разрушения: обратные задачи и решения. М.: Физматлит, 2011. 412 с.
5. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Ленанд, 2017. 416 с.
6. Баев В.К. Теория колебаний. М.: Юрайт, 2019. 348 с.
7. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения: Учебное пособие для вузов. М.: Альянс, 2016. 392 c.

Роторы, валы, балки и другие элементы являются частыми составляющими подвижных и неподвижных механических систем [1; 2]. Известно, что по акустическому отклику конструкций возможно восстановление различного рода неисправностей таких систем. Исследования, связанные с изношенностью, а также с изменениями физических параметров конструкций, играют важную роль при решениях проблем сохранения безопасных частот свободных колебаний [3; 4].

Действительно, частыми случаями на практике являются колебания, возникающие при отсутствии какого-либо внешнего периодического возбуждения. Это и сравнительно простые процессы свободных колебаний, возникающие после мгновенного нарушения состояния устойчивого равновесия механической системы, и более сложные процессы, такие как автоколебания систем.

Большое внимание исследователей в настоящее время привлечено к вопросам колебаний самых разнообразных механических конструкций (автомобилей, кораблей и самолетов, инженерных сооружений, роторов турбин, валов двигателей, турбинных лопаток, воздушных и гребных винтов, перекрытий промышленных зданий и т.п.).

Многие научные труды по теории колебаний включают задачи свободных колебаний валов, роторов, например работы [2; 5; 6]. Целью данной работы является построение динамической модели ротора, закрепленного податливыми подшипниками с различными жесткостями в горизонтальном и вертикальном направлениях, получение дифференциальных уравнений, описывающих колебательный процесс. В работе приводится также вывод векового уравнения прямой спектральной задачи. С помощью построенной программы по алгоритму решения задачи исследуется зависимость частот колебаний ротора от его физических параметров. Полученные результаты учитываются при обеспечении надежности механических колебательных процессов, составляющими которых являются роторы на податливых подшипниках.

Прямая задача определения частот свободных колебаний ротора на подшипниках

Смоделируем свободные колебания жесткого ротора, закрепленного подшипниками на податливых опорах.

Систему координат Oxyz совмещаем с ротором так, как представлено на рисунке. За обобщенные координаты принимаем угловые перемещения β, γ оси ротора, а также перемещения y0, z0 центра тяжести ротора и малые перемещения y1, z1, y2, z2 подшипников в направлениях осей Oy и Oz [2].

safina1.tif

Модель ротора на податливых подшипниках

Здесь: W и J – масса ротора и момент инерции его поперечного сечения; с1, с2 и d1, d2 – коэффициенты жесткостей подвижных опор в горизонтальном и вертикальном направлениях соответственно; l1, l2 – расстояния от центра тяжести ротора до его податливых опор, причем l1 + l2 = l.

По такой динамической модели для центра тяжести и угловых перемещений имеем равенства:

safin01.wmf safin02.wmf

Тогда соответствующие дифференциальные уравнения перемещений центра тяжести ротора и его поворотов относительно указанных осей примут вид:

safin03.wmf safin04.wmf (1)

Четыре уравнения системы (1) описывают моделируемый колебательный процесс.

Вывод векового уравнения прямой задачи

С учетом свободных колебаний жесткого ротора на нежестких опорах принимаем колебательный процесс гармоническим:

safin05.wmf (2)

где safin06.wmf – амплитуды, p – собственная частота колебаний ротора.

Тогда с учетом (2) уравнения (1) примут вид

safin07.wmf

Преобразуя последнюю систему, определяем четыре однородных уравнения относительно амплитуд safin08.wmf колебаний ротора.

Далее с учетом существования ненулевого решения этой системы [7] найдем вековой определитель для нашей задачи в виде:

SAF02.wmf.

Преобразования определителя приводят его к уравнению восьмого порядка относительно частоты колебаний

SAF01.wmf. (3)

с коэффициентами, содержащими в себе физические параметры жесткого ротора и податливых подшипников:

SAF03.wmf.

safin09.wmf

safin10.wmf (4)

safin11.wmf

safin12.wmf

safin13.wmf

Вековое уравнение (3)–(4) позволяет находить частоты нормальных форм колебаний жесткого ротора, закрепленного подшипниками на податливых опорах.

Применение математической модели (3)–(4) представим на примере. Пусть известны физические параметры ротора на подвижных опорах: J = 0,5 кг м2, l = 0,3 м, safin14.wmf safin15.wmf safin16.wmf W = 2 кг, safin17.wmf safin18.wmf J1 = 0,25 кг•м2, l1 = 0,1 м, l2 = 0,2 м.

Определим собственные частоты колебаний ротора.

Подстановка заданных физических параметров ротора и подшипников в (4), а затем в (3) приводит к уравнению:

safin19.wmf

Решение последнего уравнения, найденное с помощью программы в математическом пакете Maple, следующее: ±0,011, ±2,211, ±2,881, ±4,022.

Следовательно, собственные частоты колебаний ротора, соответствующие заданным характеристикам:

safin20.wmf

Полученная по алгоритму решения прямой задачи программа подтверждает также четырехчастотный колебательный процесс, полученный при его математическом и физическом моделировании.

Зависимость частот колебаний ротора на подшипниках от физических параметров

Рассмотрим теперь с помощью полученной математической модели (3), (4) влияние характеристик ротора на значения собственных частот его колебаний.

Даны следующие параметры ротора и подшипников:

J = 0,5 кг м2, l = 0,3 м, safin21.wmf safin22.wmf

safin23.wmf W = 2 кг, safin24.wmf safin25.wmf

J1 = 0,25 кг•м2, l1 = 0,1 м, l2 = 0,2 м. (5)

Для исследований меняем какие-либо физические характеристики (например, массу ротора), оставляя другие характеристики постоянными. И с помощью модели (3), (4) будем определять соответствующие изменения в частотном спектре задачи.

Проведенные с помощью программы Maple расчеты показывают уменьшение частот колебаний при увеличении массы ротора или момента инерции поперечного его сечения. Это можно увидеть, например, в табл. 1.

Таблица 1

Зависимость частот от массы ротора при его параметрах (5)

W, кг

р1, с-1

р3, с-1

2

0,011

2,881

3

0,007

1,806

4

0,005

1,565

5

0,004

1,399

6

0,003

1,345

 

Расчеты влияния на значения частот колебаний ротора жесткостей его подвижных опор показывают, что здесь образуется прямая зависимость: увеличение параметров жесткости ведет к увеличению частот колебаний. Результаты вычислений представлены, например, табл. 2, 3.

Таблица 2

Зависимость частот от коэффициента жесткости податливых подшипников в горизонтальном направлении (при параметрах (5) ротора)

safin26.wmf

р1, с-1

р2, с-1

0,2

0,011

1, 399

0,6

0,014

1,979

1

0,015

2,423

1,4

0,015

2,795

1,8

0,016

2,998

 

Таблица 3

Зависимость частот ротора от коэффициентов жесткости в горизонтальном направлении при параметрах (5) ротора

safin27.wmf

safin28.wmf

р1, с-1

р2, с-1

0,100

0,100

0,0084

0,9898

0,500

0,500

0,0188

1,2126

1,100

1,100

0,0278

2,8810

2,000

2,000

0,0373

2,8813

2,400

2,400

0,0412

2,8815

 

Проведенные расчеты показывают также, что одновременное увеличение жесткостей подвижных опор ротора (как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях) приводит к более значительному росту значений частот, чем при увеличении только в одном направлении. В подтверждение сказанного приведена табл. 4.

Таблица 4

Зависимость частот колебаний от коэффициентов жесткостей опор в горизонтальном и вертикальном направлениях при параметрах (5) ротора

safin29.wmf

safin30.wmf

safin31.wmf

safin32.wmf

р1, с-1

р2, с-1

р3, с-1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,004

0,989

0,991

0,6

0,6

0,6

0,6

0,026

2,421

2,425

1

1

1

1

0,044

3,119

3,131

2

2

2

2

0,088

4,039

4,429

2,8

2,8

2,8

2,8

0,112

4,143

4,502

 

Аналогичные зависимости влияния характеристик масс и жесткостей на частотный спектр наблюдаются и при других физических характеристиках механической системы, отличных от (5).

Заключение

Рассмотрена прямая задача малых свободных колебаний ротора на подвижных опорах. Построены дифференциальные уравнения перемещений центра тяжести ротора и его поворотов относительно осей по двум подвижным направлениям. По динамической модели найдено вековое уравнение задачи с определением частот нормальных форм колебаний.

С помощью векового уравнения исследовано влияние на частоты колебаний ротора его физических параметров. Построены зависимости при различных характеристиках ротора и подшипников. Показано, что увеличение параметров жесткости увеличивает значения частот, а увеличение массовых параметров – уменьшает значения частот колебаний. Проведенные исследования учитываются при решении проблем диагностики технических конструкций, связанных с изменениями в физических параметрах различного вида роторных конструкций.

Результаты исследований могут представить как теоретический, так и практический интерес при определении частот колебаний любого ротора на нежестких опорах. Причем как на этапах доводки, проектирования двигателей (насосов, осевых и центробежных компрессоров) машиностроения, так и на этапах практических спектральных расчетов.


Библиографическая ссылка

Сафина Г.Ф. МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖЕСТКОГО РОТОРА НА ПОДАТЛИВЫХ ПОДШИПНИКАХ // Современные наукоемкие технологии. – 2020. – № 4-1. – С. 64-68;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=37974 (дата обращения: 29.11.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074