Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,021

КОМПЬЮТЕРНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Ромм Я.Е. 1
1 Таганрогский институт имени А.П. Чехова (филиал) ФГБОУ ВО «РГЭУ (РИНХ)»
Необходимые и достаточные условия устойчивости по Ляпунову сформулированы с учетом асимптотического поведения отношения возмущения решения к варьируемому возмущению начальных значений в ограничениях общего вида. Вытекающие отсюда признаки устойчивости адаптированы к специфике нелинейных, автономных и линейных систем. Признаки ориентированы на компьютерную реализацию, но могут применяться для аналитического исследования. В случае автономных систем правые части трактуются как аналоги функций Ляпунова, что приводит к критериям, использующим сопоставление знаков компонентов решения, его первой и второй производных на полуоси. В случае линейных однородных систем с постоянной матрицей коэффициентов те же критерии достаточно применять лишь к одному решению с произвольно выбранными ненулевыми компонентами начального вектора. Критерии доказаны аналитически, иллюстрированы примерами, практически апробированы с помощью численных экспериментов. Эксперименты с программным формированием признаков устойчивости выполнены для систем различных классов. Приведены коды программ, на основе которых выполнялись эксперименты, анализируется соответствие практических результатов и теоретических оценок устойчивости. Численное моделирование использует комплекс предложенных критериев, выполняется по ходу решения системы, процесс моделирования применим для мониторинга устойчивости автоматизированных систем управления.
критерии устойчивости по Ляпунову
аналоги функций Ляпунова
компьютерная реализация анализа устойчивости
численное моделирование устойчивости
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Изд-во «Науку-всем», 2019. 480 с.
2. Канатников А.Н. Качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016. 44 с.
3. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. 376 с.
4. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Некоторые вычислительные алгоритмы нормализации гамильтоновых систем. М.: Препринт ИПМ АН СССР. 1976. № 31. 61 с.
5. Hammarling S. J. Numerical Solution of the Stable, Non-negative Definite Lyapunov Equation. IMA J. of Num. Analysis. Vol. 2. Issue 3. 1. July 1982. P. 303–323.
6. Новиков М.А. О вычислительных способах достаточных условий устойчивости автономных консервативных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2014. № 1 (41). С. 28–36.
7. Giesl P.A., Hafstein S.F. Computation of Lyapunov functions for nonlinear discrete time systems by linear programming. J. Difference Equ. Appl. 2014. 20. P. 610–640.
8. Giesl P.A., Hafstein S.F. Revised CPA method to compute Lyapunov functions for nonlinear systems. J. of Math. Anal. And Appl. February 2014. Vol. 410. Issue 1. P. 292–306.
9. Giesl P.A., Hafstein S.F. Review on computational methods for Lyapunov functions. Discrete & Continuous Dynamical Systems–B. 2015. Vol. 420 (8). P. 2291–2331.
10. Ромм Я.Е. Моделирование устойчивости по Ляпунову на основе преобразований разностных схем решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия РАН. Математическое моделирование. 2008. Т. 20. № 12. С. 105–118.
11. Ромм Я.Е. Компьютерно-ориентированный анализ устойчивости на основе рекуррентных преобразований разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. 2015. Т. 51. № 3. С. 107–124.
12. Пиголкина Т.С. Автономные системы. Фазовые траектории. Элементы теории устойчивости. М.: Изд-во МФТИ, 2013. 40 с.

Анализ устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) опирается на методы качественной теории [1, 2] и теории автоматического управления [3]. Компьютеризация системных исследований приводит к вопросу о применении в этой области средств вычислительной техники. Подход к анализу устойчивости на основе численного моделирования был предложен в [4, 5], исследование продолжено, его современное состояние отражено в [6, 7]. Известные методы, если они не относятся к специальным видам ОДУ, используют различные способы вычисления функций Ляпунова [8, 9]. В излагаемой ниже работе подход опирается на разностное (в общем случае приближенное) решение системы, с выполнением которого совмещается численное моделирование устойчивости. Предварительные результаты приведены для линейных и нелинейных ОДУ в [10, 11]. В некоторых разновидностях предлагаемые методы дают возможность аналитического применения, в целом трактуются как компьютерно-ориентированные. Их построение опирается на рекуррентные и аддитивные преобразования разностных методов, для анализа устойчивости используются также функции правой части ОДУ и аналитическое выражение производных этих функций. Цель работы – представить целостные способы анализа устойчивости, ориентированные на компьютерную реализацию, изложить обоснование и указать ограничения. Требуется показать их применимость в различных условиях для нелинейных, автономных и линейных систем, привести примеры и результаты численных экспериментов. Излагаемые признаки могут входить частью в основу сравнительно доступных средств анализа для автоматизированного контроля устойчивости.

В работе ставится цель построить компьютерно-ориентированный метод анализа устойчивости в смысле Ляпунова решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, который имеет следующие отличия от известных аналогов.

1. Метод инвариантен относительно класса дифференциальных уравнений, применим к нелинейным, автономным и линейным системам, при этом позволяет учитывать специфику системы.

2. Предложенный подход не использует построение функций Ляпунова, не опирается на первый и второй методы Ляпунова.

3. Метод включает алгоритмизацию, сравнительно простую программную реализацию и может использоваться для численного моделирования по ходу решения системы.

4. Отличия дают преимущество относительно известных способов компьютерного анализа устойчивости, позволяющее достигать инвариантности достоверной оценки устойчивости в условиях сходимости метода приближенного решения системы.

Цель работы включает математическое обоснование предложенных критериев, выполнение их алгоритмизации. Кроме того, требуется представить развернутый численный эксперимент, иллюстрирующий практическую реализуемость комплекса предложенных средств компьютерного анализа устойчивости.

Исходные соотношения. Рассматривается задача Коши для системы

romm01.wmf (1)

где

romm02.wmf,

romm03.wmf, romm04.wmf

Предполагается, что существует romm05.wmf, такое, что на полупрямой romm06.wmf выполнены все условия существования и единственности для невозмущенного решения и для каждого его возмущения romm07.wmf, romm08.wmf, с начальным вектором в границах romm09.wmf. Применяются канонические согласованные нормы матрицы и вектора. По умолчанию romm10.wmf, в численных экспериментах используется эвклидова норма. Предполагается, что в области romm11.wmf функция romm12.wmf определена, непрерывна и непрерывно дифференцируема (в t0 – справа), компоненты функции удовлетворяют неравенству:

romm13.wmf. (2)

Из (2) следует условие Липшица romm14.wmf. В этих условиях определение устойчивости упрощено: решение romm15.wmf устойчиво, если romm16.wmf найдется romm17.wmf, такое, что romm18.wmf влечет romm19.wmf. Решение асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и найдется romm20.wmf, такое, что из неравенства romm21.wmf следует romm22.wmf, если romm23.wmf. Метод Эйлера решения задачи (1)

romm24.wmf, (3)

включая запись с остаточным членом, на произвольном отрезке romm25.wmf, применяется в предположении, что значение romm26.wmf является произвольно фиксированным, при этом индекс i неограниченно растет одновременно с убыванием равномерного шага:

romm27.wmf. (4)

В форме с остаточным членом метод (3) примет вид romm28.wmf, romm29.wmf, где i, h из (4), romm30.wmf – остаточный член формулы Тейлора для k-го компонента приближения: romm31.wmf, аналогично для возмущенного решения, romm32.wmf, romm33.wmf, romm34.wmf, romm35.wmf. Предварительно предполагается, что

romm36.wmf, (5)

в дальнейшем ограничение (5) будет ослаблено или снято. Исходными являются соотношения romm37.wmf, romm38.wmf, или

romm39.wmf, romm40.wmf. (6)

С учетом (2) при ограничении (5) выполняется неравенство:

romm41.wmf. (7)

Отсюда

romm42.wmf. (8)

Рекуррентное преобразование (6) влечет

romm43.wmf, romm44.wmf, (9)

где h соответствует (4), romm45.wmf из (6), romm46.wmf. Для дальнейшего приводятся некоторые утверждения из [10, 11].

Лемма 1. В рассматриваемых условиях romm47.wmf.

Доказательство. Для romm48.wmf romm49.wmf: romm50.wmf, romm51.wmf. Поэтому romm52.wmf romm53.wmf, romm54.wmf, romm55.wmf. Из (9) с учетом (8) romm56.wmf, следовательно, romm57.wmf. Отсюда romm58.wmf, тем более, romm59.wmf, и romm60.wmf при romm61.wmf romm62.wmf. Лемма доказана.

Следствие 1. В тех же условиях

romm63.wmf. (10)

Лемма 2. В рассматриваемых условиях для устойчивости решения задачи (1) необходимо и достаточно, чтобы существовало romm64.wmf, такое, что romm65.wmf, при ограничении romm66.wmf выполняется неравенство

romm67.wmf. (11)

Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось предыдущее утверждение и существовало romm68.wmf, такое, что romm69.wmf влечет

romm70.wmf. (12)

На romm71.wmf частичное произведение romm72.wmf при изменении i меняет одновременно все свои сомножители и h в каждом из них согласно (4).

Расширенныe условия устойчивости. Из (10)

romm74.wmf. (13)

Следствие 2. При romm75.wmf формулировка и утверждение леммы 2 дословно сохраняются при замене (11) на соотношение

romm76.wmf, (14)

и (12) – на соотношение

romm77.wmf. (15)

Частное в (14) выражает отношение возмущения решения именно к вызвавшему его возмущению начальных значений при всех их вариациях в границах romm78.wmf выполняется romm79.wmf.

Предварительно предполагалось выполнение (5). Требуется показать, что обе леммы и следствия сохраняются при ослаблении или исключении этого ограничения.

Лемма 3. Пусть для решений romm80.wmf задачи (1) рассматриваются romm81.wmf, L из (2), ti из (4) и произвольные значения romm83.wmf, включая случай romm84.wmf, где romm85.wmf, при этом в некоторой окрестности romm86.wmf выполнено romm87.wmf romm88.wmf. В этих условиях

romm89.wmf (16)

Доказательство. В достаточно малой окрестности romm90.wmf с учетом romm91.wmf romm92.wmf и (2) выполняется (7). Функции romm93.wmf и romm94.wmf из (1) определены и непрерывны на romm95.wmf, поэтому romm96.wmf и romm97.wmf, разности под знаками пределов конечны на любом отрезке romm98.wmf, включающем romm99.wmf вместе с рассматриваемой окрестностью. Так что romm100.wmf, кроме того, romm101.wmf вследствие (2). Отсюда romm102.wmf, где romm103.wmf. В частности, для romm104.wmf, romm105.wmf, romm106.wmf, romm107.wmf. Лемма доказана.

Лемма 4. В условиях леммы 3

romm108.wmf (17)

Для доказательства достаточно заметить, что относительно отношения под знаком предела в (17) с точностью до обозначений сохраняются рассуждения и оценки доказательства леммы 3. Поэтому romm109.wmf romm110.wmf, romm111.wmf, romm112.wmf, отсюда следует (17).

Условия леммы 3 исключают неустранимые особенности в romm113.wmf и romm114.wmf.

Следствие 3. Соотношение (10) будет сохраняться на произвольном отрезке romm115.wmf, если условия леммы 1 расширить до условий леммы 3 и, кроме того, допускать любое конечное число точек, в которых на этом отрезке нарушается ограничение (5).

Доказательство. С учетом (16), (17) при однократном нарушении (5) ни одно из соотношений доказательства леммы 1 в расширенных условиях не изменится, поэтому (10) будет сохраняться. Если на romm116.wmf количество точек romm117.wmf, где romm118.wmf конечно, то они взаимно отделены. В достаточно малой окрестности каждой из них нарушение ограничения (5) однократно, следовательно, (10) сохраняется. Следствие доказано.

Из следствия 3, соотношения (10) и леммы 2 вытекает

Теорема 1. В исходных предположениях, с тем изменением, что на произвольном отрезке romm119.wmf допускается любое конечное число нарушений ограничения (5), для устойчивости, а также для асимптотической устойчивости решения задачи (1) сохраняются необходимые и достаточные условия леммы 2, включая соотношения (11), (12).

Согласно (13) имеет место

Следствие 4. Теорема 1 распространяется на условия устойчивости следствия 2, включая соотношения (14), (15) при romm120.wmf.

Условия устойчивости можно дополнительно расширить. Пусть решение системы (1) устойчиво. Пусть произвольно зафиксировано k, romm121.wmf и рассматривается romm122.wmf romm123.wmf. Пусть сохраняются все исходные условия, с тем исключением, что множество точек romm124.wmf, в которых нарушается (5), romm125.wmf, является произвольным. Вне данного множества romm126.wmf, romm127.wmf, для разности romm128.wmf согласно следствию 1 сохраняется (10). В каждой такой точке необходимо выполняется (11) и (14), при этом в romm129.wmf-окрестности romm130.wmf константа romm131.wmf не меняется. В точках romm132.wmf, где romm133.wmf, функция romm134.wmf равна нулю. По непрерывности этой функции каждое romm135.wmf можно заключить в столь малый интервал romm136.wmf, что romm137.wmf romm138.wmf. В результате все точки отрезка romm139.wmf покрываются системой интервалов romm140.wmf, на каждом из которых выполнено (14). По лемме Бореля из системы romm141.wmf можно выбрать конечную подсистему, покрывающую romm142.wmf. На каждом интервале конечного покрытия, следовательно, во всех точках romm143.wmf, для выбранных k и t выполнено (14). Рассуждения сохраняются romm144.wmf с одной и той же romm145.wmf. Ввиду произвольности t отсюда следует, что в случае устойчивости (14) с необходимостью выполнено romm146.wmf, romm147.wmf. Такое обоснование необходимости опирается на (10), что априори предполагает непрерывную дифференцируемость romm148.wmf. В то же время выполнение (14) является достаточным условием устойчивости без этого предположения. Если romm149.wmf, romm150.wmf, romm151.wmf, romm152.wmf, то romm153.wmf выполнено romm154.wmf romm155.wmf, лишь только romm156.wmf. Отсюда romm157.wmf, где romm158.wmf, влечет romm159.wmf, и (14) – достаточное условие устойчивости без отмеченного ограничения. Из изложенного вытекает

Теорема 2. Пусть сохраняются все исходные условия, включая непрерывную дифференцируемость romm160.wmf из (1), со следующим изменением: на произвольном отрезке romm161.wmf, romm162.wmf допускается любое множество точек romm163.wmf, в которых romm164.wmf. Тогда для устойчивости решения задачи (1) необходимо, чтобы существовало такое romm165.wmf, что romm166.wmf, при ограничении romm167.wmf, romm168.wmf верно неравенство

romm169.wmf. (18)

Эти же условия являются достаточными условиями устойчивости без предположения о непрерывной дифференцируемости romm170.wmf из (1). Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы в соответственных условиях устойчивости существовало romm171.wmf, такое, что romm172.wmf влечет

romm173.wmf. (19)

Остается доказать утверждение относительно (19). Поскольку romm174.wmf, то (19) выполняется тогда и только тогда, когда romm175.wmf, поэтому утверждение равносильно определению асимптотической устойчивости. Теорема доказана.

Следствие 5. Пусть система (1) имеет точку покоя. Теорема 2 дает необходимые и достаточные условия ее устойчивости при romm176.wmf, (18) переходит в соотношение

romm177.wmf. (20)

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости точки покоя получаются из этой теоремы при переходе (19) в соотношение

romm178.wmf. (21)

С учетом (2) имеет место

Следствие 6. В условиях теоремы 2 для устойчивости решения задачи (1) необходимо, чтобы существовало romm179.wmf, такое, что romm180.wmf, при ограничении romm181.wmf выполняется неравенство

romm182.wmf. (22)

Для асимптотической устойчивости необходимо, чтобы решение было устойчиво и существовало romm183.wmf, такое, что romm184.wmf влечет

romm185.wmf. (23)

В самом деле, согласно (2) romm186.wmf, romm187.wmf, и в случае устойчивости, с учетом (18) romm188.wmf, romm189.wmf. Отсюда romm190.wmf, romm191.wmf. Аналогично доказывается (23).

Замечание 1. В условиях теоремы 2 в случае устойчивости соотношение (22) влечет равномерную на полуоси оценку правой части (1): romm192.wmf, и romm193.wmf выполнено romm194.wmf, romm195.wmf, лишь только romm196.wmf, где romm197.wmf. Таким образом, необходимым условием устойчивости является соотношение

romm198.wmf. (24)

Замечание 2. Для асимптотической устойчивости необходимо, чтобы решение было устойчиво и существовало romm199.wmf, такое, что romm200.wmf влечет

romm201.wmf. (25)

Утверждение следует из того, что romm202.wmf тогда и только тогда, когда romm203.wmf. Необходимость (25) следует также из условия Липшица.

Теорема 2, следствия и замечания применимы к нелинейным, автономным и линейным системам.

Условия устойчивости в случае автономной системы. Пусть для задачи Коши

romm204.wmf (26)

где romm205.wmf, romm206.wmf, romm207.wmf, сохраняются все условия теоремы 2. В семейство решений (26) вместе с romm208.wmf всегда входит сдвиг romm209.wmf при любом romm210.wmf. Если в (18) положить romm211.wmf, то применительно к (26), в силу единственности решения, romm212.wmf. При таких начальных значениях в случае устойчивости условие romm213.wmf теоремы 2, или, romm214.wmf, влечет

romm215.wmf. (27)

Таким образом, (27) – необходимое условие устойчивости решения задачи (26).

Поскольку выполнены условия теоремы о среднем, то

romm216.wmf, romm217.wmf, romm218.wmf, romm219.wmf.

Из (27)

romm220.wmf. (28)

В (28) romm221.wmf меняется в зависимости от t, но неравенство переносится на romm222.wmf. Если предположить, что это не так и в условиях устойчивости romm223.wmf найдутся romm224.wmf, romm225.wmf, такие, что romm226.wmf, то с учетом romm227.wmf получится противоречие. В самом деле, romm228.wmf. В силу непрерывности romm229.wmf последнее неравенство сохраняется на некотором интервале, включающем romm230.wmf: romm231.wmf, romm232.wmf. Вследствие устойчивости на этом интервале выполняется (27). В частности, romm233.wmf, и romm234.wmf, или, romm235.wmf, romm236.wmf. Таким образом, romm237.wmf, и вместе с тем romm238.wmf, что невозможно. Следовательно, предположение неверно, и romm239.wmf, или romm240.wmf, romm241.wmf. Отсюда и из (24) romm242.wmf. В результате имеет место

Лемма 5. Если в условиях теоремы 2 решение romm243.wmf задачи (26) устойчиво, то существует romm244.wmf, romm245.wmf, где romm246.wmf из (24), romm247.wmf из (27), такое, что

romm248.wmf. (29)

В рассматриваемых ограничениях соотношение (29) – необходимое условие устойчивости решения автономной системы. Ниже определяются достаточные условия.

Лемма 6. Пусть выполнены условия теоремы 2 применительно к задаче (26). Тогда для устойчивости решения этой задачи необходимо и достаточно, чтобы romm249.wmf, такие, что romm250.wmf, имеет место соотношение

romm251.wmf. (30)

Условие (30) является достаточным для устойчивости решения (26), если выполнено (29).

Доказательство. Пусть romm252.wmf. Можно считать, что romm253.wmf, иначе все сдвиги совпадали бы с невозмущенным решением, что для автономной системы невозможно [12]. Необходимость доказывается следующим образом. Если предположить, что решение устойчиво, но (30) не выполняется, то, как бы велико ни было c0 и как бы мало ни было romm254.wmf, найдутся romm255.wmf, Δ, romm257.wmf, и romm258.wmf, такие, что romm259.wmf. Тогда romm260.wmf можно выбрать c0 так, что romm261.wmf, и romm262.wmf. Но в силу устойчивости при достаточно малом romm263.wmf, romm264.wmf всегда выполнено romm265.wmf, что противоречит предположению. Достаточность получается с применением теоремы о среднем: romm266.wmf, romm267.wmf. Поэтому

romm268.wmf,

и

romm269.wmf.

Отсюда

romm270.wmf,

тем более,

romm271.wmf,

или,

romm272.wmf.

Отсюда и из (29) romm273.wmf. Таким образом, (30) влечет romm274.wmf, romm275.wmf, и, следовательно, romm276.wmf, romm277.wmf, romm278.wmf. В результате romm279.wmf выполнено romm280.wmf, лишь только romm281.wmf. Лемма доказана.

Для асимптотической устойчивости решения задачи (26) необходимо и достаточно соответственное выполнение условий леммы 6 и существование romm282.wmf-окрестности romm283.wmf, romm284.wmf, в начальных условиях из которой выполняется соотношение

romm285.wmf. (31)

Достаточность получается подстановкой (31) в правую часть (30) с учетом условий леммы, необходимость – из определения асимптотической устойчивости применительно к возмущению romm286.wmf. Из изложенного вытекает

Теорема 3. Пусть выполнены все условия теоремы 2 применительно к задаче (26). Тогда для устойчивости решения этой задачи необходимо выполнение соотношений (27), (29) и (30). При этом если (29) выполнено, то выполнение (30) является достаточным условием устойчивости. Необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости решения задачи (26) является выполнение соответственных условий устойчивости при одновременном выполнении с ними соотношения (31).

Следствие 7. Из (27) следует известный факт равномерной непрерывности устойчивого решения автономной системы: romm287.wmf romm288.wmfromm289.wmf, romm290.wmf, romm291.wmf, где romm292.wmf из (27).

Из замечаний 1, 2 вытекает

Следствие 8. В условиях теоремы 3 для устойчивости решения задачи (26) необходимо, чтобы существовало romm293.wmf, такое, что romm294.wmf, верно неравенство

romm295.wmf. (32)

Для асимптотической устойчивости необходимо, чтобы решение было устойчиво и существовало romm296.wmf, такое, что romm297.wmf выполнялось соотношение

romm298.wmf. (33)

Замечание 3. В случае устойчивости решения задачи (26) соотношение (32) влечет равномерную непрерывность правой части на полуоси. Именно romm299.wmf при romm300.wmf, выполнено romm301.wmf, romm302.wmf, лишь только romm303.wmf. Таким образом,

romm304.wmf. (34)

При данных ограничениях (34) – необходимое условие устойчивости решения (26).

Условия устойчивости точки покоя автономной системы. Пусть система (26) преобразована к виду, при котором анализ устойчивости ее решения сводится к анализу устойчивости нулевого решения (точки покоя):

romm305.wmf (35)

где romm306.wmf, romm307.wmf, romm308.wmf, не умаляя общности, можно считать romm309.wmf [1]. В дальнейшем формально предполагается, что romm310.wmf, если romm311.wmf, и, кроме того, соотношение romm312.wmf romm313.wmf возможно только, если romm314.wmf romm315.wmf. Применительно к анализу устойчивости нулевого решения задачи (35) вычитаемые в делимом (27), в соотношениях (30) – (34) становятся нулями. Ниже возмущение нулевого решения не будет отмечаться волной.

Следствие 9. Условия и утверждения теоремы 3 с точностью до обозначения повторяются для решения romm316.wmf задачи (35). В частности, это относится к ограниченности в условиях устойчивости правой части romm317.wmf из (35). В случае устойчивости точки покоя задачи (35) соотношение (27) примет вид romm318.wmf, romm319.wmf, romm320.wmf и (35) перейдет в соотношение romm321.wmf, romm322.wmf.

Следствие 10. Применительно к (35) сохраняется следствие 8, при этом (32), (33) переходят в соотношения romm323.wmf, romm324.wmf, и romm325.wmf. Сохраняется также замечание 3, при этом (34) перейдет в соотношение romm326.wmf.

Согласно этим следствиям в случае устойчивости точки покоя системы (35) решение romm327.wmf с начальными значениями из некоторой окрестности romm328.wmf и правая часть romm329.wmf ограничены. При некоторых условиях ограниченность V(t) может определяться знаком компонентов romm330.wmf, а romm331.wmf – знаком компонентов romm332.wmf. Покомпонентное сопоставление знаков производных приводит к достаточным условиям устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости, излагаемым ниже. По-прежнему относительно (35) сохраняются все условия теоремы 2.

Чтобы исключить неверный смысл последующих утверждений, дополнительно предполагается, что всюду, где используется знак нестрогого неравенства относительно romm333.wmf, romm334.wmf, romm335.wmf, решения системы (35) исключают каждый из случаев, когда romm336.wmf или romm337.wmf, или romm338.wmf.

Очевидны следующие утверждения.

1. Если romm339.wmf, такое, что romm340.wmf, romm341.wmf верны неравенства romm342.wmf, romm343.wmf, romm344.wmf romm345.wmf, то romm346.wmf ограничена, а точка покоя системы (35) устойчива.

В данных условиях функция romm347.wmf не убывает, поэтому по модулю не возрастает, и romm348.wmf romm349.wmf, romm350.wmf. Функция romm351.wmf не возрастает, поэтому romm352.wmf romm353.wmf. Отсюда romm354.wmf, при выборе romm355.wmf, выполнено romm356.wmf romm357.wmf, romm358.wmf.

2. Если romm359.wmf, такое, что romm360.wmf, romm361.wmf верны неравенства romm362.wmf, romm363.wmf, romm364.wmf romm365.wmf, то romm366.wmf ограничена, а точка покоя системы (35) устойчива.

Утверждение оправдывается по аналогии с пунктом 1.

3. Если для некоторых romm367.wmf выполнены условия пункта 1, а для всех остальных romm368.wmf – условия пункта 2, то romm369.wmf ограничена, а точка покоя системы (35) устойчива.

При romm370.wmf выполнено: romm371.wmf, romm372.wmf romm373.wmf. Если romm374.wmf, то romm375.wmf, и romm376.wmf, при выборе romm377.wmf, верно romm378.wmf romm379.wmf.

Ограниченность romm380.wmf в общем случае – следствие устойчивости согласно лемме 5, ниже это свойство отдельно не оговаривается. Из пунктов 1–3 вытекает

Предложение 1. Если romm381.wmf, такое, что romm382.wmf, romm383.wmf выполняется любая из пар неравенств romm384.wmf, romm385.wmf или romm386.wmf, romm387.wmf romm388.wmf, то точка покоя системы (35) устойчива.

Теорема 4. Пусть выполнены условия предложения 1. Если romm389.wmf, такое, что romm390.wmf, romm391.wmf выполняется пара неравенств romm392.wmf, romm393.wmf или romm394.wmf, romm395.wmf romm396.wmf, и при этом romm397.wmf, то точка покоя системы (35) асимптотически устойчива.

Доказательство. Согласно предложению 1 точка покоя устойчива. Пусть при условии romm398.wmf произвольно зафиксировано romm399.wmf, выбрано romm400.wmf, при котором выполняется romm401.wmf, romm402.wmf romm403.wmf, и пусть romm404.wmf. Предположение, что romm405.wmf, окажется в противоречии с устойчивостью. В этом предположении romm406.wmf, такое, что, начиная с некоторого romm407.wmf, будет верно неравенство: romm408.wmf. Тогда romm409.wmf, где romm410.wmf, и romm411.wmf, если romm412.wmf. Отсюда romm413.wmf при romm414.wmf, что означает неустойчивость нулевого решения вопреки условию. Предположение неверно, и в рассматриваемых условиях выполнено romm415.wmf. Поскольку romm416.wmf, и romm417.wmf тогда и только тогда, когда romm418.wmf, с учетом произвольности выбора romm419.wmf, соотношение romm420.wmf возможно только, если romm421.wmf romm422.wmf. Поэтому точка покоя асимптотически устойчива. Аналогично рассматривается случай romm423.wmf, romm424.wmf.

Предложение 2. Пусть точка покоя системы (35) устойчива. Если romm425.wmf, такое, что romm426.wmf, romm427.wmf выполнены неравенства romm428.wmf, romm429.wmf romm430.wmf, то точка покоя асимптотически устойчива.

Доказательство. Пусть зафиксировано romm431.wmf и выбрано romm432.wmf. Функция romm433.wmf убывает и ограничена снизу. Поэтому romm434.wmf. Если предположить, что romm435.wmf, возникнет противоречие. В самом деле, romm436.wmf, romm437.wmf, romm438.wmf, romm439.wmf, такие, что romm440.wmf. Отсюда romm441.wmf, где romm442.wmf. Следовательно, romm443.wmf вопреки устойчивости точки покоя. Предположение неверно, и romm444.wmf. С учетом произвольности выбора romm445.wmf и romm446.wmf соотношение romm447.wmf возможно только, если romm448.wmf romm449.wmf. Отсюда следует асимптотическая устойчивость точки покоя.

Предложение 3. Пусть точка покоя системы (35) устойчива. Если romm450.wmf, romm451.wmf выполнено romm452.wmf, romm453.wmf romm454.wmf, то точка покоя асимптотически устойчива.

Доказательство аналогично предыдущему.

Если для некоторых romm455.wmf выполнены условия предложения 2, а для всех остальных romm456.wmf – условия предложения 3, то точка покоя системы (35) асимптотически устойчива. Отсюда вытекает

Теорема 5. Если точка покоя системы (35) устойчива и romm457.wmf, такое, что romm458.wmf, romm459.wmf выполнено либо romm460.wmf, romm461.wmf, либо romm462.wmf, romm463.wmf romm464.wmf, то точка покоя асимптотически устойчива.

Замечание 4. Согласно замечанию 2 соотношение (25) – необходимое условие асимптотической устойчивости. Для системы (35) оно примет вид: romm465.wmf, romm466.wmf выполняется romm467.wmf. Для доказательства теоремы 4 и для доказательства предложения 2 достаточно выполнения самого этого соотношения и факта устойчивости, без использования условий, в силу которых это соотношение имеет место, в частности неравенств из условий предложений 1, 2.

На основании замечания 4 имеет место

Теорема 6. Если точка покоя системы (35) устойчива, то для ее асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности romm468.wmf выполнялось romm469.wmf.

Непосредственно из теорем 4, 5 вытекает

Теорема 7. Если romm470.wmf, такое, что romm471.wmf, romm472.wmf выполняется любая из троек неравенств romm473.wmf, romm474.wmf, romm475.wmf или romm476.wmf, romm477.wmf, romm478.wmf romm479.wmf, то точка покоя системы (35) асимптотически устойчива.

В ограничениях начального предположения все знаки строгих неравенств в условиях теорем 4, 5, 7 можно заменить знаками соответственных нестрогих неравенств с сохранением утверждений. На пункты 4, 5 аналогичное утверждение не распространяется.

4. Если имеет место устойчивость, теорема 6 дает необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости. Кроме того, в условиях постоянства знака компонентов решения достаточные условия теорем 4, 5, 7 становятся необходимыми.

Предложение 4. Пусть romm480.wmf, такое, что romm481.wmf, romm482.wmf задача (35) имеет решения со свойством постоянства знаков компонентов, romm483.wmf, то есть либо romm484.wmf romm485.wmf, либо romm486.wmf romm487.wmf. Пусть romm488.wmf из рассматриваемой окрестности начальных данных romm489.wmf. Тогда для асимптотической устойчивости точки покоя необходимо и достаточно выполнение одной из пар неравенств romm490.wmf, romm491.wmf или romm492.wmf, romm493.wmf romm494.wmf.

Доказательство. Достаточность условий доказывается аналогично тому, как доказывалась достаточность условий теоремы 4. Пусть теперь точка покоя системы (35) асимптотически устойчива, тогда romm495.wmf решение V(t) ограничено. Если предположить, что при некотором romm496.wmf условия теоремы 6 нарушены, например в виде romm497.wmf, romm498.wmf romm499.wmf, то возникнет противоречие. Функция vk положительна, не убывает и ограничена, следовательно, romm500.wmf. Но значение romm501.wmf противоречит асимптотической устойчивости, в силу которой romm502.wmf. Предположение неверно, и в рассматриваемых условиях необходимо romm503.wmf, romm504.wmf romm505.wmf. Если нарушение условий возникло в форме romm506.wmf, romm507.wmf romm508.wmf, то в силу устойчивости функция vk(t) отрицательна, ограничена на полуоси, при этом не возрастает. Поэтому romm509.wmf. Такое значение romm510.wmf противоречит асимптотической устойчивости. Отсюда необходимо romm511.wmf, romm512.wmf romm513.wmf. Случаи нарушения условий romm514.wmf, romm515.wmf romm516.wmf рассматриваются аналогично.

С использованием ограниченности romm517.wmf согласно (29) аналогично доказывается

Предложение 5. Пусть точка покоя системы (35) устойчива. Тогда для ее асимптотической устойчивости необходимо и достаточно выполнение одной из пар неравенств romm518.wmf, romm519.wmf или romm520.wmf, romm521.wmf romm522.wmf.

5. Следующие условия достаточны для неустойчивости.

Предложение 6. Если для задачи (35) romm523.wmf: romm524.wmf, romm525.wmf, romm526.wmf, такие, что неравенства romm527.wmf, romm528.wmf верны romm529.wmf, при этом либо romm530.wmf, либо romm531.wmfromm532.wmf, то точка покоя неустойчива. Аналогично, если romm533.wmf, romm534.wmf.

Доказательство. Пусть romm535.wmf, romm536.wmf, где k из условий предложения. Если функция vk(t) ограничена сверху, то romm537.wmf, при этом romm538.wmf с учетом возрастания vk(t). Если в этом случае предположить, что точка покоя устойчива и romm539.wmf romm540.wmf, то согласно предложению 5 и теореме 6 необходимо romm541.wmf. Тогда romm542.wmf, что противоречит romm543.wmf. Если же предположить, что точка покоя устойчива и romm544.wmf romm545.wmf, то в силу леммы 5 функция uk(t) ограничена, не убывает, следовательно, имеет предел romm546.wmf. Отсюда, как и раньше, romm547.wmf, что противоречит устойчивости. Остается предположить, что vk(t) не ограничена сверху, но это также означает, что точка покоя неустойчива. Случай romm548.wmf, romm549.wmf рассматривается аналогично.

Нетрудно видеть, что к тому же результату приводит выполнение соотношений romm550.wmf, romm551.wmf или romm552.wmf, romm553.wmf romm554.wmf при сохранении условий относительно romm555.wmf.

С помощью аналогичных рассуждений доказывается

Теорема 8. Точка покоя системы (35) неустойчива, если romm556.wmf: romm557.wmf, romm558.wmf, romm559.wmf, такие, что romm560.wmf верна хоть одна из пар следующих неравенств при сохранении условий предложения 6 относительно romm561.wmf: romm562.wmf, romm563.wmf; romm564.wmf, romm565.wmf; romm566.wmf, romm567.wmf; romm568.wmf, romm569.wmf. В тех же условиях решение неустойчиво, если верна хоть одна из пар следующих неравенств: romm570.wmf, romm571.wmf; romm572.wmf, romm573.wmf; romm574.wmf, romm575.wmf; romm576.wmf, romm577.wmf.

Элементарные примеры и программная реализация. Нулевое решение уравнения romm578.wmf неустойчиво: romm579.wmf, если romm580.wmf, то romm581.wmf, romm582.wmf; если romm583.wmf, то romm584.wmf, romm585.wmf (теорема 8). Нулевое решение уравнения romm586.wmf асимптотически устойчиво: romm587.wmf, если romm588.wmf, то romm589.wmf, romm590.wmf; если romm591.wmf, то romm592.wmf, romm593.wmf (теорема 7). Уравнение romm594.wmf неустойчиво: romm595.wmf (теорема 8), уравнение romm596.wmf асимптотически устойчиво: romm597.wmf (теорема 7). Для системы romm598.wmf знаки romm599.wmf и romm600.wmf, romm601.wmf и romm602.wmf покомпонентно противоположны: romm603.wmf, romm604.wmf. Однако нельзя сделать вывод об асимптотической устойчивости – не выполнены исходные условия, которые предполагают теоремы 4, 6, 8, в частности не выполнено (2). В общем случае аналитически идентифицировать асимптотическое поведение знака решения, его первой и второй производной далеко не всегда возможно. Однако это не составляет затруднения при применении компьютера: достаточно по ходу решения выводить приближения vk(t), uk(t), romm605.wmf. Например, для уравнения romm606.wmf следующая программа (Delphi) даст искомую информацию:

Program sgnnorm;{$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils;

const h = 0.000001;eps =0.001; tt=1000000; var t,v: extended; k: longint;

function u (t,v:extended):extended; begin u:=exp(v)-1; end;

function u1 (t,v:extended):extended; begin u1:=exp(v)*(exp(v)-1); end;

begin k:=0; v:= eps; t:=0; while t <= 6 do begin v:=v+h*u (t,v); t:=t+h; k:=k+1; if k = tt then begin writeln ('t=',t:4,' ');

writeln; writeln (' ','znaki':32,' '); writeln; writeln (' ',v,' ',u (t,v),' ',u1 (t,v)); writeln; writeln; k:=0 end; end;

readln end.

В качестве возмущения нулевого решения с отсчетом tt шагов выводится приближение по методу Эйлера решения v (v), romm607.wmf, правой части romm608.wmf(u(t,v)), ее производной romm609.wmf(u1(t,v)). Их знаки положительны на всем интервале приближения, что означает признак неустойчивости. Интервал взят малым, иначе возникнет переполнение, что дает дополнительный признак: заведомо нарушается необходимое условие устойчивости (20). Если по данной программе приближенно решать уравнение romm610.wmf, интервал можно произвольно продлить, знаки решения, первой и второй производной будут чередоваться, romm611.wmf, все эти величины будут убывать к нулю, означая асимптотическую устойчивость. При варьируемых начальных значениях чередование сохраняется. В продолжение процесса обнулятся значащие цифры выводимых значений в расширенном формате. Согласно (21) и теореме 6 стремление решения, а также производной к нулю дает дополнительный признак асимптотической устойчивости. По аналогичной программе можно выводить отношение решения к начальному значению (v/eps) для проверки необходимых и достаточных условий (20), (21).

В общем случае для исследования системы (35) программа с очевидностью модифицируется. В результате она выполнит аналогичные действия для каждого уравнения в отдельности, при этом производная от romm612.wmf априори аналитически определяется по формуле romm613.wmf, или, romm614.wmf [13]. Значения romm615.wmf и romm616.wmf задаются подпрограммами-функциями, их приближения выводятся одновременно с компонентами приближенного решения romm617.wmf. Использование компонента romm618.wmf вектор-функции romm619.wmf из (35) сходно с применением производной в силу системы [1, 3]. Принципиальное отличие функции Ляпунова, использующей известное построение, в том, что в общем случае она не является вектор-функцией, ее значение принадлежит R как функции n переменных. Известное видоизменение – вектор-функция Ляпунова [3] – имеет число компонентов меньше n и использует вспомогательную систему. Рассматриваемое применение romm621.wmf ограничено условиями существования и непрерывности romm622.wmf romm623.wmf, romm624.wmf, что не необходимо для применения функции Ляпунова. Ее построение не детерминировано формулой и оставляет возможность оценки устойчивости с помощью выбора переменных, причем в более общем случае. Однако для численного моделирования устойчивости существенна инвариантность задания romm625.wmf по формуле производной сложной функции.

Признаки устойчивости линейных систем. Как частный случай автономной системы (35) рассматривается однородная система

romm626.wmf (36)

с матрицей вещественных коэффициентов n×n. К (36) применимы теоремы 4–8 и данные ранее утверждения относительно автономных и нелинейных систем. Выражение производных наглядно просто: romm627.wmf. Одним из условий асимптотической устойчивости системы является противоположность знаков k-х компонентов AY и romm628.wmf при каждом romm629.wmf romm630.wmf. Одно из условий неустойчивости – наличие при некотором k противоположных знаков k-х компонентов AY и romm632.wmf romm633.wmf. Пусть, например, рассматривается система romm634.wmf. В этом случае

romm635.wmf, romm636.wmf, romm637.wmf,

romm638.wmf, romm639.wmf.

Из записи метода Эйлера для приближенного решения этой системы, romm640.wmf, видно, что существует решение с положительными компонентами. При romm641.wmf знаки компонентов Y, AY и romm642.wmf совпадают, решение неустойчиво (теорема 8). Такой вывод можно повторить для любой положительной матрицы A, что согласуется с теоремой Перрона о наибольшем по модулю собственном значении положительной матрицы: оно вещественно и положительно [14]. Пусть рассматривается система romm643.wmf. Здесь

romm644.wmf, romm645.wmf,

romm646.wmf, romm647.wmf,

romm648.wmf.

Второй компонент меняет знак при переходе от Y к AY и от AY к romm651.wmf. Если, начиная с некоторого romm652.wmf, выполнено romm653.wmf, то и первый компонент меняет знак аналогично. В этом предположении знаки компонентов Y, AY и romm655.wmf попарно противоположны romm656.wmf, система асимптотически устойчива согласно теореме 7. Легко убедиться непосредственной подстановкой, что в семейство решений входит romm657.wmf, это решение соответствует предположению и иллюстрирует асимптотическую устойчивость. Приближенное решение системы проявило бы те же и другие свойства асимптотического поведения ненулевого решения, в частности признак асимптотической устойчивости: romm658.wmf, если romm659.wmf (теорема 6).

Ниже оговаривается, что для оценки устойчивости системы (36) достаточно выполнения обсуждаемых признаков для одного произвольного решения со всеми ненулевыми компонентами начальных значений.

Невыполнение достаточных условий теорем и предложений не означает неустойчивость. Так, система romm660.wmf не отвечает условиям этих утверждений, но устойчива: собственные значения матрицы romm661.wmf мнимые и не кратные [14].

Как и в общем случае, для системы (36) нельзя предложить универсальный алгоритм аналитической идентификации знаков компонентов решения и производных. Однако компьютерная идентификация знаков выполняется относительно без затруднений. В программу вводится матрица A, программно вычисляется A2. Для компонентов AY и romm662.wmf задаются подпрограммы-функции, соответственные каждой из строк матриц, значения функций выводятся по шагам приближенного решения одновременно с компонентами решения Y в случае возмущенных начальных значений. Такой процесс обладает естественным параллелизмом, в последовательной реализации A2 можно не вычислять: выводятся компоненты Y, AY, по ассоциативности – romm663.wmf.

Для дальнейшего исследования потребуется рассмотреть структуру общего решения системы (36), которое в форме Коши имеет вид [15]

romm664.wmf, (37)

где romm665.wmf – начальные значения, которые считаются произвольными, romm666.wmf – компоненты нормированной фундаментальной системы, romm667.wmf. Нормированность означает [15], что любое частное решение с единственностью получается из (37) при фиксировании начальных значений именно этого решения: romm668.wmf (включая romm669.wmf). Отсюда любое частное решение системы (36) в выражении из (37) в качестве элементов линейной комбинации содержит все n вектор-функций фундаментальной системы, каждую с ненулевым коэффициентом, при условии, что начальные значения решения имеют все ненулевые компоненты: romm670.wmf. Поэтому одно такое решение сохраняет свойства всех решений фундаментальной системы в смысле асимптотического поведения, определяющего характер устойчивости. Вектор-функция фундаментальной системы представляет собой решение с компонентами romm671.wmf, romm672.wmf, где каждому собственному числу λi кратности romm674.wmf матрицы A соответствуют полиномы romm676.wmf степени не выше romm677.wmf, в совокупности имеющие romm678.wmf произвольных коэффициентов, через которые выражаются остальные [15]. При romm679.wmf полином имеет нулевую степень и выражается в виде одного свободного коэффициента. В случае комплексного λi отделяются его вещественная и мнимая части, по отдельности они порождают вещественные компоненты romm681.wmf. Вхождение каждого romm682.wmf с ненулевым коэффициентом в (37) сохраняет асимптотический характер роста в зависимости от знака действительной части λi либо от кратности мнимой части, если действительная часть равна нулю. В любом случае асимптотическое поведение одного частного решения, начальные значения которого составляют только ненулевые компоненты, эквивалентно в смысле устойчивости поведению всей фундаментальной системы, соответственной n собственным значениям матрицы системы. Это коррелирует с известным свойством системы (36): для ее устойчивости необходима и достаточна ограниченность одновременно всех решений, для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно стремление к нулю одновременно всех решений при romm685.wmf [1]. Однако по асимптотике какого именно из решений можно точно судить об устойчивости всей системы, ясно только на основании (37): по поведению любого частного решения, все компоненты начальных значений которого не равны нулю. На этой основе для анализа устойчивости системы (36) не требуется указывать окрестность возмущения начальных значений, как в следствии 5 в общем случае. Достаточно формулировать условия этого следствия для произвольного решения с ненулевыми компонентами начальных значений. Применительно к (36) не требуется проверять выполнение условий предложений и теорем в окрестности нулевых начальных значений: достаточно их проверить для произвольно выбранных ненулевых компонентов начального вектора. Выполнение условий влечет в асимптотике ограниченность, стремление к нулю или неограниченность решения, характерные для всей фундаментальной системы.

Пусть в (36) romm686.wmf, romm687.wmf romm688.wmf. Компоненты romm689.wmf, romm690.wmf, romm691.wmf находятся из соотношений

romm692.wmf,

romm693.wmf, romm694.wmf,

romm695.wmf. (38)

Согласно изложенному из теорем 4–8 применительно к (36) вытекает

Теорема 9. Пусть решение romm696.wmf системы (36) выбрано произвольно при условии romm697.wmf romm698.wmf и компоненты romm699.wmf, romm700.wmf, romm701.wmf определяются из (38). Если romm702.wmf выполняется любая из пар неравенств romm703.wmf, romm704.wmf или romm705.wmf, romm706.wmf romm707.wmf, то система (36) устойчива. Если romm708.wmf выполняется пара неравенств romm709.wmf, romm710.wmf или romm711.wmf, romm712.wmf romm713.wmf, и при этом romm714.wmf, то рассматриваемая система асимптотически устойчива. Если эта система устойчива и romm715.wmf выполнено либо romm716.wmf, romm717.wmf, либо romm718.wmf, romm719.wmf romm720.wmf, то она асимптотически устойчива. Если система (36) устойчива, то для ее асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось romm721.wmf. Если romm722.wmf выполняется любая из троек неравенств romm723.wmf, romm724.wmf, romm725.wmf или romm726.wmf, romm727.wmf, romm728.wmf romm729.wmf, то система (36) асимптотически устойчива.

Теорема 10. Cистема (36) неустойчива, если romm730.wmf, romm731.wmf, такие, что romm732.wmf верна хоть одна из пар неравенств: romm733.wmf, romm734.wmf; romm735.wmf, romm736.wmf; romm737.wmf, romm738.wmf; romm739.wmf, romm740.wmf; и при этом либо romm741.wmf, либо romm742.wmf romm743.wmf. В тех же условиях решение неустойчиво, если верна любая из следующих пар неравенств: romm744.wmf, romm745.wmf; romm746.wmf, romm747.wmf; romm748.wmf, romm749.wmf; romm750.wmf, romm751.wmf.

Имеет место

Предложение 7. Пусть решение romm752.wmf системы (36) выбрано при условии romm753.wmf romm754.wmf. Тогда для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы хоть одна производная решения произвольного порядка была ограничена на полуоси: romm755.wmf, romm756.wmf romm757.wmf, romm758.wmf. Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы для такой производной выполнялось соотношение romm759.wmf, romm760.wmf.

Доказательство. Очевидно,

romm761.wmf, romm762.wmf,

и

romm763.wmf romm764.wmf.

Поэтому производная romm765.wmf ограничена в том и только в том случае, если ограничено решение romm766.wmf. В рассматриваемых условиях ограниченность одного решения определяет ограниченность одновременно всех решений, что необходимо и достаточно для устойчивости системы (36) [1]. Для ее асимптотической устойчивости необходимо и достаточно стремление к нулю одновременно всех решений [1]. При рассматриваемом выборе решения это определяется тем, что romm767.wmf при romm768.wmf. Последнее соотношение выполняется тогда и только тогда, когда romm769.wmf, romm770.wmf. Предложение доказано.

Следствие 11. Предложение 7 сохраняется, если в качестве условия устойчивости требовать ограниченности на полуоси производных одновременно всех порядков, в качестве условия асимптотической устойчивости – их одновременного стремления к нулю при romm771.wmf.

Замечание 5. В условиях предложения 7 в случае неасимптотической устойчивости системы (36) необходимо найдется romm772.wmf, такое, что компонент производной romm773.wmf любого порядка циклически меняет знак с ростом t на полуоси.

Если предположить обратное, например, что romm775.wmf romm776.wmf, romm777.wmf: romm778.wmf romm779.wmf, то romm780.wmf не убывает. По следствию 11 решение и производные всех порядков ограничены в силу устойчивости. Отсюда romm781.wmf, romm782.wmf. Аналогично в случае romm783.wmf romm784.wmf. В любом случае romm785.wmf, такое, что знак romm786.wmf, а вместе с ним и знак romm787.wmf постоянны romm788.wmf. Для romm789.wmf можно повторить рассуждение, в результате romm790.wmf, такое, что знак romm791.wmf постоянен romm792.wmf. По индукции romm793.wmf, такое, что знак romm794.wmf постоянен romm795.wmf, и romm796.wmf, такое, что знак romm797.wmf постоянен romm798.wmf. Не умаляя общности, можно считать, что romm799.wmf. Тогда romm800.wmf компоненты romm801.wmf и romm802.wmf имеют постоянные знаки. Если постоянные знаки romm803.wmf, romm804.wmf совпадают (знак romm805.wmf постоянен), то по теореме 10 решение неустойчиво. Если эти знаки противоположны (romm806.wmf), то по теореме 9 решение асимптотически устойчиво. В обоих случаях это противоречит условию, по которому решение устойчиво, но не асимптотически. Следовательно, предположение неверно. С учетом того, что рассуждения распространялись на случай romm807.wmf при romm808.wmf, утверждение замечания доказано.

С учетом окрестности нулевых начальных значений сходное утверждение доказывается относительно решения системы (35).

Замечание 6. В случае неасимптотической устойчивости решения системы (35) romm809.wmf romm810.wmf, такое, что romm811.wmf, при котором компоненты romm812.wmf, romm813.wmf циклически меняют знак с ростом t на полуоси.

Для компьютерного анализа устойчивости системы (36) целесообразно применять еще один способ численного моделирования. Он основан на том, что система (36) устойчива тогда и только тогда, когда romm814.wmf, romm815.wmf, romm816.wmf, для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы romm817.wmf, где h из (4) [10, 11]. Вычисление степени romm818.wmf заменяется вычислением romm819.wmf:

romm820.wmf (39)

При достаточно малом h реализация (39) сводится к умножению матрицы romm821.wmf на себя до момента достижения заданной границы изменения t. Следующая программа совмещает анализ устойчивости системы (36) на основе теорем 8, 9 и соотношений (39).

Program sgnlinconst;{$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils;

const n=3; h=1.1e-14; x0=0; xn=1500; h1=1.1e-4;TT=150000;

type matr=array[1..n,1..n] of extended; vect=array[1..n] of extended;

const A: matr= ((-1, -0.09, 0.077),

(0.087, -0.9, 0.005),

(-0.034, 0.034, -0.2));

var a1,c: matr; y1,y2,y3,z1,z2,z3: extended; s0,s1,x: extended; I,j,l,k,k0,kk: integer;

function ay1 (const a:matr; var y1,y2,y3: extended): extended;

begin ay1:=a[1,1]*y1 +a[1,2]*y2+a[1,3]*y3; end;

function ay2 (const a:matr; var y1,y2,y3: extended): extended;

begin ay2:=a[2,1]*y1 +a[2,2]*y2+a[2,3]*y3; end;

function ay3 (const a:matr; var y1,y2,y3: extended): extended;

begin ay3:=a[3,1]*y1 +a[3,2]*y2+a[3,3]*y3; end;

procedure ummatr (var a1,c: matr);

var s1: extended; I,j,l : integer;

begin for I := 1 to n do for j := 1 to n do

begin s1:=0; for l:= 1 to n do s1:= s1+a1[I,l]*a1[l,j]; c[I,j]:= s1 end; end;

begin kk:=0; for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin a1[I,j]:=a[I,j]*h; if i=j then a1[I,j]:=a1[I,j]+1 end;

x:=x0; y1:=2;y2:=2;y3:=2; while x<=xn do begin kk:=kk+1;

y1:=y1+ay1(a,y1,y2,y3)*h1; y2:=y2+ay2(a,y1,y2,y3)*h1; y3:=y3+ay3(a,y1,y2,y3)*h1;

if kk=TT then begin z1:=ay1(a,y1,y2,y3);z2:=ay2(a,y1,y2,y3);z3:=ay3(a,y1,y2,y3);

write (' ':4,y1:4,' ':4,ay1(a,y1,y2,y3):4,' ':4,ay1(a,z1,z2,z3):4);writeln;

write (' ':4,y2:4,' ':4,ay2(a,y1,y2,y3):4,' ':4,ay2(a,z1,z2,z3):4);writeln;

write (' ':4,y3:4,' ':4,ay3(a,y1,y2,y3):4,' ':4,ay3(a,z1,z2,z3):4);writeln;

writeln; writeln; kk:=0; end; x:=x+h1; end; writeln; writeln;

k:=0; x:=x0; while abs(x) <= 1e9{3} do begin ummatr (a1,c); k:=k+1;x:=h*exp((k+1)*ln(2));

for i:=1 to n do for j:=1 to n do a1[I,J]:=c[I,j]; s0:=0; for i:=1 to n do for j:=1 to n do

s0:=s0+sqr(a1[I,j]); s0:= sqrt(s0); write (' ':2, s0:2,' ':8); end; writeln; writeln; writeln (' ':2, 'шаг =',h,' ');

writeln (' ':2, 'параметр k=',k,' ');writeln (' ':2, 'параметр x=',x:2,' '); readln end.

Результат выполнения программы:

Y romm822.wmf romm823.wmf

6.8E-0003 -1.3E-0003 2.8E-0004

1.3E-0003 -2.8E-0004 5.7E-0005

7.2E-0002 -1.4E-0002 3.0E-0003

2.4E-0004 -4.9E-0005 9.9E-0006

4.8E-0005 -9.8E-0006 2.0E-0006

2.5E-0003 -5.2E-0004 1.0E-0004

………………………………………………………

4.4E-0132 -8.9E-0133 1.8E-0133

8.8E-0133 -1.8E-0133 3.6E-0134

4.7E-0131 -9.4E-0132 1.9E-0132

romm824.wmf

1.7E + 0000 1.7E + 0000 1.7E + 0000 1.7E + 0000

1.7E + 0000 1.7E + 0000 1.7E + 0000 1.7E + 0000

……………………………………………………………......

1.7E + 0000 1.7E + 0000 1.6E + 0000 1.5E + 0000

1.3E + 0001 1.1E + 0000 8.0E-0001 5.4E-0001

……………………………………………………………......

1.9E-0009 3.7E-0018 1.4E-0035 1.9E-0070

3.5E-0140 1.2E-0279 1.4E-0558 2.0E-1116

……………………………………………………………......

0.0E + 0000 0.0E + 0000 0.0E + 0000 0.0E + 0000

0.0E + 0000 0.0E + 0000 0.0E + 0000 0.0E + 0000

Система (36) с матрицей A, 3×3, заданной в разделе описания констант, решается методом Эйлера с шагом romm825.wmf на отрезке romm826.wmf. По ходу решения с начальными значениями romm827.wmf, romm828.wmf выводятся компоненты romm829.wmf, romm830.wmf, romm831.wmf. Компоненты убывают до romm832.wmf, по следствию 11 это признак асимптотической устойчивости. Знаки компонентов чередуются на всем отрезке решения: romm833.wmf, romm834.wmf, romm835.wmf, romm836.wmf. По теореме 8 это также признак асимптотической устойчивости. Соотношение (39) реализуется с шагом romm837.wmf путем умножения матрицы romm838.wmf на себя до момента romm839.wmf (закомментировано romm840.wmf на случай переполнения от роста нормы при неустойчивости). Норма убывает от romm841.wmf до romm842.wmf при количестве умножений матрицы на себя romm843.wmf. Согласно (39) это дополнительный признак асимптотической устойчивости. Признаки указывают правильный результат, поскольку матрица имеет диагональное преобладание отрицательных элементов.

Численный эксперимент. Используются эвклидовы нормы матрицы и вектора. Пусть в (36) в качестве матрицы коэффициентов поочередно рассматриваются

romm844.wmf, romm845.wmf. (40)

Если в программе sgnlinconst ввести изменения, соответственные размерности и конкретным данным, выводить левую часть (20) в обозначении romm846.wmf при romm847.wmf, romm848.wmf, romm849.wmf, то в случае A1 получится romm851.wmf: 1.02×100, …, 5.16×10-17, …, 3.72×10-29, …, 8.07×10-86, …, 1.28×10-104, …, 2.67×10-134. Согласно (21) это признак асимптотической устойчивости (соответствует диагональному преобладанию отрицательных элементов). Для этой же матрицы получится признак асимптотической устойчивости, соответственный теореме 9: romm852.wmf, romm853.wmf, romm854.wmf, romm855.wmf. Кроме того, компоненты romm856.wmf, romm857.wmf, romm858.wmf, romm859.wmf убывают от 6.1×10-11 до 2.6×10-142, по следствию 11 это также указывает на асимптотическую устойчивость. Реализация (39) даст для A1 еще один признак асимптотической устойчивости romm860.wmf: 2.0×100, 2.0×100, … , 1.9×100, 1.8×100,…, 2.3×10-36, 5.2×10-72,…, 0, 0. В случае A2 преобладают положительные диагональные элементы, рост нормы соответствует неустойчивости, romm861.wmf: 5.75×100, …, 1.01×1020, …, 3.68×10100, …, 1.85×10491, …, 4.30×10656, …, 8.62×10772, …, 4.18×10908. Другой признак неустойчивости: romm862.wmf; romm863.wmf; romm864.wmf; romm865.wmf. Компоненты растут до 8.8×10893 , и далее, до переполнения, нарушается необходимое условие устойчивости следствия 11. Наконец, romm866.wmf: 2.0×100, 2.0×100, … , 2.0×100, 2.1×100, 2.2×100, …, 1.1×10240, 1.3×10480, далее следует переполнение. Для обеих матриц (40) признаки указывают правильные результаты. Можно рассмотреть пограничные состояния устойчивости линейных уравнений, взяв в (36) матрицу Фробениуса с нижней строкой, соответственной характеристическому полиному с кратными (или напротив) мнимыми корнями. Пусть, например,

romm867.wmf, romm868.wmf.

Последняя строка – коэффициенты характеристических полиномов, за вычетом единичных при старших степенях, взятые с обратным знаком и расположенные в порядке возрастания индексов. Характеристический полином A3 имеет кратные мнимые корни: romm869.wmf или romm870.wmf, в этом случае система неустойчива [14]. Программа sgnlinconst для A3, romm871.wmf, romm872.wmf, romm873.wmf, даст romm874.wmf: 3.35×101, …, 3.37×1067, …, 3.71×10146, …, 1.76×10241, …, 1.32×101276 , 2.82×101290. Ввиду нарушения условия (20) это признак неустойчивости. То же получается в соответствии с теоремой 10: romm875.wmf, romm876.wmf, romm877.wmf, romm878.wmf. Компоненты romm879.wmf, romm880.wmf, romm881.wmf растут до 2.9×101285, нарушая необходимое условие устойчивости следствия 11. Еще один признак неустойчивости, romm882.wmf: 2.4×100, 2.4×100, …, 2.4×100, 2.5×100, …, 9.9×1002, …, 3.5×10344, 6.0×10688, далее следует переполнение, что нарушает (39). Для матрицы A4 характеристический полином имеет вид romm883.wmf или romm884.wmf, мнимые корни не кратны, действительные части остальных корней отрицательны, что соответствует неасимптотической устойчивости [14]. Программа с теми же входными параметрами даст romm885.wmf: 1.25×101 , …, 2.25×101 , …, 2.36×101 , …, 2.21×101 , …, 1.79×101 , …, 1.55×101, …, 1.95×101, …, 1.93×101. Это признак устойчивости согласно (20). Изменение компонентов romm886.wmf, romm887.wmf, romm888.wmf, romm889.wmf ограничено по модулю, например при romm890.wmf соответственно от 1.4×10-8, 4.9×10-9, 5.6×10-8 до 9.0×10-9, 2.2×10-8, 3.6×10-8, аналогично при romm891.wmf, что указывает на устойчивость по следствию 11. В тройке romm892.wmf, romm893.wmf, romm894.wmf знаки циклически меняются с ростом t. Точнее, при каждом romm895.wmf всегда имеется пара противоположных знаков соседних компонентов тройки, для смежной пары один из знаков повторяется. При этом комбинация знаков меняется с ростом t и циклически повторяется, что по замечанию 5 иллюстрирует именно неасимптотическую устойчивость системы. На том же отрезке romm896.wmf: 2.4×100, …, 2.4×100, …, 7.3×100, …, 1.0×101, …, 1.2×101, …, 9.4×100, …, 6.7×100, …, 1.1×101, …, 7.0×100. Согласно (39) признак указывает на устойчивость. В результате признаки соответствуют неустойчивости системы (36) с матрицей A3 и ее неасимптотической устойчивости в случае A4. Пусть теперь рассматривается система romm897.wmf. Известно, что ее нулевое решение устойчиво, все остальные неустойчивы. Программа, реализующая (20), аналогична приведенной выше sgnrost, отличается размерностью и функциями правой части. Признак устойчивости нулевого решения получается, в частности, при romm898.wmf, romm899.wmf, romm900.wmf, шаг метода Эйлера romm901.wmf. В прежнем обозначении выводится romm902.wmf: 1.4, 1.4, … , 1.4. Признак сохраняется при вариации начальных значений. То, что устойчивость нулевого решения не асимптотическая, иллюстрируется, в частности, в случае romm903.wmf: компоненты romm904.wmf и romm905.wmf циклически меняют знаки с ростом romm906.wmf в соответствии с замечанием 6, при этом romm907.wmf не выходит из отмеченных выше границ. Неустойчивость ненулевых решений на основе соотношения (18) проявляется, начиная с начальных значений romm908.wmf, при возмущении romm909.wmf. В обозначении romm910.wmf получится romm911.wmf: 1.41, 1.41, …, 1.42, …, 1.43, …, 1.447. Если romm912.wmf, то romm913.wmf: 1.4, 1.5, …, 1.6, …, 1.9, …, 2, …, 2.1, …, 3, …, 3.3. Если romm914.wmf, то romm915.wmf: 2, …, 4, …, 12, …, 89, …, 91, …, 180, …, 251, …, 300, …, 312. Признак сохраняется при вариации возмущений начальных значений. Для ненулевого решения признак в соответствии с теоремой 7 непосредственно не получится, поскольку теорема дана для нулевого решения системы (35). Однако если численно смоделировать замены переменных romm916.wmf, сводящие анализ устойчивости ненулевого решения romm917.wmf к анализу нулевого решения romm918.wmf, то требуемый признак проявится при romm919.wmf и romm920.wmf, romm921.wmf. На всем отрезке romm922.wmf знаки второго компонента решения и производной будут совпадать: romm923.wmf, при этом romm924.wmf монотонно растет. Согласно эксперименту при возмущениях любых ненулевых начальных значений romm925.wmf неизменно растет, указывая на неустойчивость ненулевых решений.

Инвариантность признаков (18)–(21) для нелинейных уравнений далее иллюстрирует пример с использованием аналитических преобразований и оценок. Из (10) romm926.wmf. Лемма 2 сохранится при замене (11) на соотношение romm927.wmf romm928.wmf, romm929.wmf и (12) – на соотношение romm930.wmf [11]. Согласно (16), (17) в условиях теоремы 1 при достаточно малом h под знаком логарифма исключены неустранимые особенности. С учетом romm932.wmf в тех же условиях лемма 2 сохранится при замене (11) на соотношение romm933.wmf и (12) – на соотношение romm934.wmf. На этой основе в рамках теоремы 1 ограничение (5) снимается с интегральных аналогов romm935.wmf как пределов интегральных сумм на romm936.wmf, элементами которых являются romm937.wmf из (6), (10). Пусть задача (1) записана в виде

romm938.wmf (41)

где romm939.wmf, romm940.wmf, romm941.wmf, и пусть она имеет нулевое решение romm942.wmf romm943.wmf, romm944.wmf, romm945.wmf, устойчивость которого требуется исследовать. В дальнейшем для задачи (41) предполагаются выполненными условия теоремы 1 относительно ограничения (5), и любое ненулевое решение (41) интерпретируется как возмущение решения romm946.wmf. При замене romm947.wmf на интеграл справедлива

Лемма 7 [11]. Лемма 2 сохраняется для romm948.wmf из (41), если соотношения (11) заменить на romm949.wmf, romm950.wmf и (12) – на romm951.wmf, romm952.wmf.

В точках устранимых особенностей, romm953.wmf, дроби romm954.wmf доопределяются: romm955.wmf, и ограничение (5) снимается с условий двух теорем из [11].

Теорема 11. Если romm956.wmf: romm957.wmf, выполнено romm958.wmf, romm959.wmf, где romm960.wmf, то решение romm961.wmf устойчиво. В частности, romm962.wmf, romm963.wmf. Если romm964.wmf, romm965.wmf, romm966.wmf: romm967.wmf, где romm968.wmf, то решение romm969.wmf неустойчиво. В частности, romm970.wmf, romm971.wmf.

Теорема 12. Если для (41) выполнены условия устойчивости теоремы 1 и romm972.wmf, romm973.wmf, romm974.wmf: romm975.wmf, romm976.wmf, где romm977.wmf, то решение romm978.wmf асимптотически устойчиво. В частности, romm979.wmf, romm980.wmf, romm981.wmf, romm982.wmf.

Условиям теоремы 12 удовлетворяет система

romm983.wmf (42)

где romm984.wmf, romm985.wmf romm986.wmf; romm987.wmf, romm988.wmf; romm989.wmf, romm990.wmf – вещественные числа romm991.wmf, romm992.wmf. Для (42) romm993.wmf, где romm994.wmf, при этом romm995.wmf, или, romm996.wmf. Кроме того, romm997.wmf, где romm998.wmf, romm999.wmf, и romm1000.wmf. Решение romm1001.wmf асимптотически устойчиво. На основе (20), (21), romm1002.wmf для значений n = 2, romm1003.wmf, romm1004.wmf, romm1005.wmf, romm1006.wmf модифицированная программа sgnrost, romm1007.wmf, romm1008.wmf, romm1009.wmf, шаг метода Эйлера romm1010.wmf, даст соответственный признак romm1011.wmf: 5.33×10-1, …, 6.17×10-3, …, 9.66×10-10, …, 9.24×10-14, …, 4.92×10-16, …, 2.56×10-16.

Кроме того, romm1012.wmf, romm1013.wmf, romm1014.wmf, romm1015.wmf, для правой части в данном приближении выполнено romm1016.wmf (на конце отрезка romm1017.wmf).

Если в (42) множитель romm1018.wmf заменить на –1, то полученная система снова будет удовлетворять условиям теоремы 12, можно положить romm1020.wmf, откуда следует асимптотическая устойчивость решения romm1021.wmf. Программа даст romm1022.wmf: 3.99×10-5, …, 7.65×10-12, …, 8.26×10-21, …, 2.31×10-38, …, 1.91×10-54, …, 1.42×10-63, …, 1.45×10-66.

Как и в предыдущем случае, romm1023.wmf, romm1024.wmf, romm1025.wmf, romm1026.wmf, на конце отрезка romm1027.wmf.

Если romm1028.wmf заменить на +1 то romm1030b.wmf romm1030.wmf, где

romm1031.wmf,

нулевое решение окажется неустойчивым. Если предположить обратное – что romm1032.wmf устойчиво, то romm1033.wmf, romm1034.wmf, romm1035.wmf: при условии romm1036.wmf выполнено romm1037.wmf, так что romm1038.wmf, romm1039.wmf. С учетом romm1040.wmf при достаточно малом ε верно romm1042.wmf. Отсюда

romm1043.wmf.

В силу romm1044.wmf, начиная с некоторого romm1045.wmf, выполняется romm1046.wmf. С точностью до устранимых особенностей romm1047.wmf, где romm1048.wmf. Поскольку romm1049.wmf, то romm1050.wmf, romm1051.wmf, и romm1052.wmf. Функция romm1053.wmf ограничена romm1054.wmf, отсюда romm1055.wmf. По теореме 10 решение romm1056.wmf неустойчиво вопреки предположению. Предположение неверно, и решение неустойчиво. Программа даст признак romm1057.wmf: 1.75×103, …, 6.05×1022, …, 8.43×1040, …, 1.20×1050, …, 1.17×1066, …, 4.96×1074, …, 8.42×1077 .

Кроме того, romm1058.wmf, romm1059.wmf (romm1060.wmf, romm1061.wmf), romm1062.wmf. Все признаки сохраняются в единичной окрестности нулевых начальных значений.

Система (42) не является автономной, поэтому для оценки устойчивости нельзя сослаться на теоремы 4–8 и предложения 1–6. Тем не менее в рассмотренных трех видоизменениях этой системы экспериментальное поведение знаков компонентов решения и производной, стремление производной к нулю на полуоси соответствуют предложению 4, теоремам 6 и 8. Можно допустить, что при некоторых ограничениях предложения 1–6 теоремы 4–8 переносятся на общий случай системы (41) и на ее частный случай (42). В самом деле, при доказательстве предложений и теорем в случае автономной системы нигде не использовалась специфика системы (35), а применялись только предельные свойства монотонной функции одной переменной в зависимости от знака ее производной. Эти свойства были нужны, чтобы получить стремление к нулю компонентов правой части: romm1063.wmf romm1064.wmf. Как только эти соотношения выполнялись, из них автоматически следовало стремление к нулю решения: romm1065.wmf romm1066.wmf. Отсюда рассматриваемые рассуждения переносятся на случай конкретной разновидности системы (41), если для нее выполняется romm1067.wmf и то ограничение, что из romm1068.wmf romm1069.wmf следует romm1070.wmf romm1071.wmf. Нетрудно видеть, что для системы (42) romm1072.wmf, а соотношения знаков romm1073.wmf и romm1074.wmf romm1075.wmf при достаточно большом t1 тривиально выводятся аналитически. Из этих соотношений непосредственно следует устойчивость точки покоя первых двух рассмотренных разновидностей системы (42) и ее неустойчивость в случае третьей разновидности. Однако доказать асимптотическую устойчивость точки покоя двух первых разновидностей системы с помощью аналитического вывода соотношения romm1076.wmf romm1077.wmf уже затруднительно. Более того, принципиальную трудность представляет показать, что из этого соотношения следует romm1078.wmf romm1079.wmf: правая часть (42) может стремиться к нулю за счет множителей – степенных функций с отрицательными показателями. Однако можно отметить, что экспериментальное выполнение romm1080.wmf согласуется с оценками на основе теоремы 12 – из оценок следует romm1081.wmf, если romm1082.wmf, что возможно только, если romm1083.wmf при romm1084.wmf. Однако анализ на основе теоремы 12 уже влечет вывод об асимптотической устойчивости и не требует иных доказательств. Остается заключить, что представленные методы не перекрывают друг друга, они целесообразны в соответствии с классами задач и возможностями численного моделирования устойчивости.

Относительно ограничений параметров в ходе численного эксперимента можно отметить следующее. Для линейных систем изложенные признаки применимы в границах romm1085.wmf, для нелинейных – romm1086.wmf, h из (4). Границы t, в которых численные признаки достоверны, сокращаются с ростом h и размерности n, увеличиваются с точностью приближенных методов.

Заключение

Изложены компьютерно-ориентированные методы анализа устойчивости на основе приближенного решения дифференциальных систем, применимые к нелинейным, автономным и линейным системам. Методы включают необходимые и достаточные условия устойчивости с учетом класса задач, используются для построения численных признаков и для аналитического исследования. Предлагается совокупность способов одновременного компьютерного контроля устойчивости по ходу решения системы в реальном времени.


Библиографическая ссылка

Ромм Я.Е. КОМПЬЮТЕРНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ // Современные наукоемкие технологии. – 2020. – № 4-1. – С. 42-63;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=37973 (дата обращения: 25.11.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074