Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,021

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРУГИХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В ПОДКРЕПЛЕННОМ КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ

Мусаев В.К. 1
1 МЭСИ
Рассматриваются некоторые вопросы численного определения волн напряжений в подкрепленном круглом отверстии. Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями применяется метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения волновых задач теории упругости. Программный комплекс позволяет решать сложные задачи при нестационарных воздействиях на объекты сложной формы. Приводится сопоставление контурного напряжения с результатами аналитического решения.
математическое моделирование
контурные напряжения
подкрепленное круглое отверстие
функция Хевисайда
динамическая теория упругости
перемещение
скорость перемещений
ускорение
метод конечных элементов
конечные элементы первого порядка
контурный конечный элемент
принцип возможных перемещений
однородный алгоритм
комплекс программ
узловые точки
явная двухслойная схема
1. Гернет Х., Крузе-Паскаль Д. Неустановившаяся реакция находящегося в упругой среде кругового цилиндра произвольной толщины на действие плоской волны расширения // Прикладная механика. Труды американского общества инженеров-механиков. – Сер. Е. – 1966. – Т. 33, № 3. – С. 48–60.
2. Мусаев В.К. Численное решение волновых задач теории упругости и пластичности // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Прикладная математика и информатика». – 1997. – № 1. – С. 87–110.
3. Мусаев В.К. О разрушениях в сложных деформируемых телах вызванных импульсными воздействиями // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2006. – № 1. – С. 36–42.
4. Мусаев В.К. Об оценке достоверности и точности численного решения нестационарных динамических задач // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2007. – № 3. – С. 48–60.
5. Мусаев В.К. Численное, аналитическое и экспериментальное решение задачи о концентрации нестационарных динамических напряжений в свободном круглом отверстии // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2008. – № 4. – С. 67–71.
6. Мусаев В.К. Оценка достоверности и точности результатов вычислительного эксперимента при решении задач нестационарной волновой теории упругости // Научный журнал проблем комплексной безопасности. – 2009. – № 1. – С. 55–80.
7. Мусаев В.К. Математическое моделирование интерференции нестационарных упругих волн напряжений в виде треугольного импульса от свободной поверхности пластинки / В.К. Мусаев, С.В. Ситник, А.А. Тарасенко, В.Г. Ситник, М.В. Зюбина // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 4; URL: www.science-education.ru/118-14118 (дата обращения: 21.09.2014).
8. Мусаев В.К. Математическое моделирование отражения нестационарных упругих волн напряжений в виде треугольного импульса от свободной поверхности пластинки / В.К. Мусаев, С.В. Ситник, А.А. Тарасенко, В.Г. Ситник, М.В. Зюбина // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 9 (часть 7). – С. 1466–1470; URL: www.rae.ru/fs/?section=content&op=show_article&article_id=10004353 (дата обращения: 21.09.2014).
9. Мусаев В.К. О достоверности компьютерного моделирования нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых телах сложной формы // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 11 – С. 10–14.
10. Мусаев В.К. Математическое моделирование напряженного состояния технических объектов с помощью волновой теории сейсмической безопасности // Проблемы безопасности российского общества. – 2014. – № 3–4. – С. 206–218.

Постановка задачи при упругих волновых воздействиях

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями – используем метод конечных элементов в перемещениях. Постановки, численные методы, технология программных комплексов и анализ результатов решения нестационарных динамических задач для областей сложной формы рассмотрены в работах [1–10].

Разработка методики и алгоритма

Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Для решения линейных дифференциальных уравнений используем метод конечных элементов в перемещениях.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

musa2.wmf, musa3.wmf, musa4.wmf,(1)

где musa5.wmf – диагональная матрица инерции; musa6.wmf – матрица жесткости; musa7.wmf – вектор узловых упругих перемещений; musa8.wmf – вектор узловых упругих скоростей перемещений; musa9.wmf – вектор узловых упругих ускорений; musa10.wmf – вектор внешних узловых упругих сил.

Интегрируя по временной координате соотношение (1) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

musa11.wmf,

musa12.wmf. (2)

Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложения определенных условий на отношение шагов по временной координате musa13.wmf и по пространственным координатам, а именно

musa14.wmf musa15.wmf, (3)

где musa16.wmf – длина стороны конечного элемента.

Устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках исследуем с помощью численного эксперимента. Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных динамических воздействиях на уникальные сооружения. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90.

В работах [2–10] приведена информация о численном моделировании волн напряжений.

Определение нестационарных упругих волн напряжений в подкрепленном круглом отверстии

Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное круглое отверстие. Начальные условия приняты нулевыми. В сечении на расстоянии 1,6H (рис. 1) при musa17.wmfmusa18.wmf скорость упругого перемещения musa19.wmf изменяется линейно от 0 до musa20.wmf а при musa21.wmfmusa22.wmf Внутренний контур подкрепленного отверстия musa23.wmf предполагается свободным от нагрузок при musa24.wmf.

mus1.tif

Рис. 1. Постановка задачи для подкрепленного круглого отверстия

На границе подкрепления и среды EFGH приняты условия непрерывности перемещений. Граничные условия для контура IJKL при musa25.wmf musa26.wmf Отраженные волны от контура IJKL не доходят до исследуемых точек при musa27.wmf. Расчеты проведены при следующих исходных данных:

Н = 0,2 м; musa28.wmf0,186∙105 с; musa29.wmf0,72∙105 МПа (0,72∙106 кгс/см2); musa30.wmf0,3; musa31.wmf0,275∙104 кг/м3 (0,275∙10-5 кгс∙с2/см4); musa32.wmf5364 м/с; musa33.wmf0,407∙105 с; musa34.wmf0,36∙104 МПа (0,36∙105 кгс/см2); musa35.wmf0,36; musa36.wmf0,122∙104 кг/м3 (0,122∙10-5 кгс∙с2/см4); musa37.wmf1841 м/с; musa38.wmf–0,1 МПа (–1 кгс/см2) (musa39.wmf – подкрепление; musa41.wmf – среда).

Исследуемая расчетная область имеет 1536 узловых точек. Внутренний контур подкрепления аппроксимирован 28 узловыми точками. По толщине подкрепление аппроксимировано двумя узловыми точками.

mus2.tif

Рис. 2. Изменение упругого контурного напряжения musa42.wmf в точке 1 во времени musa44.wmf на внутреннем контуре подкрепленного круглого отверстия при воздействии плоской продольной упругой волны типа функции Хевисайда

mus3.tif

Рис. 3. Изменение упругого контурного напряжения musa45.wmf в точке 1 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa46.wmf

mus4.tif

Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения musa47.wmf в точке 2 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa48.wmf

mus5.tif

Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения musa49.wmf в точке 3 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa50.wmf

mus6.tif

Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения musa51.wmf в точке 4 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa52.wmf

mus7.tif

Рис. 7. Изменение упругого контурного напряжения musa53.wmf в точке 5 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa54.wmf

mus8.tif

Рис. 8. Изменение упругого контурного напряжения musa55.wmf в точке 6 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa56.wmf

mus9.tif

Рис. 9. Изменение упругого контурного напряжения musa57.wmf в точке 7 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa58.wmf

mus10.tif

Рис. 10. Изменение упругого контурного напряжения musa59.wmf в точке 8 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa60.wmf

mus11.tif

Рис. 11. Изменение упругого контурного напряжения musa61.wmf в точке 9 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa62.wmf

На рис. 2 показано изменение контурного напряжения musa63.wmf в точке 1 во времени musa64.wmf (musa65.wmf 1 – результаты аналитического решения [1]; 2 – результаты численного решения, полученные методом конечных элементов [2, 4 и 6]. Расхождение для максимального упругого контурного напряжения составляет 12 %. Результаты исследований показаны на рис. 3–11 в виде графиков изменения контурных напряжений musa67.wmf (musa68.wmf) в точках 1–9 во времени musa69.wmf при воздействии функции Хевисайда. Максимальной величины сжимающее контурное напряжение достигает в точке 1 почти за два прохода фронтом продольной волны диаметра среднего контура подкрепленного круглого отверстия и равно musa70.wmf = – 13,6.

Вывод

Сравнение с результатами аналитического метода показало их хорошее совпадение, что позволяет сделать заключение о физической достоверности результатов численного решения волновых задач.


Библиографическая ссылка

Мусаев В.К. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРУГИХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В ПОДКРЕПЛЕННОМ КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ // Современные наукоемкие технологии. – 2015. – № 2. – С. 93-97;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=34897 (дата обращения: 27.09.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074