Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,021

ФОРМИРОВАНИЕ ПОЛИГОННЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР С НЕОБХОДИМЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ В 2D-ПРОСТРАНСТВЕ

Дерлугян П.Д. 1 Иванов В.В. 1 Иванова И.В. 1 Шишка В.Г. 1 Дерлугян Ф.П. 1 Бережной Ю.М. 1
1 ФГУП ОКТБ «ОРИОН»
Обсуждается проблема формирования некоторых фрактальных структур в 2D-пространстве. Представлены результаты сравнительного анализа их фрактальных размерностей и некоторых топологических характеристик.
фрактальная структура
фрактальная размерность
салфетка и ковер Серпинского
1. Федер Е. Фракталы. – M.: Мир, 1991. – 260 с.
2. Иванов В.В., Таланов В.М. // Информация и структура в наномире. – Мат-лы конф.: программа и тезисы. (1-3 июля 2009 г.), С-Пб, Россия. – СПб, 2009. – С. 67.
3. Иванов В.В., Шабельская Н.П., Таланов В.М. // Соврем. наукоемкие технологии, 2010. № 10. С. 176-179.
4. Иванов В.В., Таланов В.М. // Наносистемы: Физика, Химия, Математика, 2010. Т. 1. № 1. С. 72-107.
5. Иванов В.В., Таланов В.М., Гусаров В.В. // Наносистемы: Физика, Химия, Математика, 2012. Т.3. № 4. С. 82-100.
6. Иванов В.В., Демьян В.В., Таланов В.М. // Междунар. журн. эксп. образования, 2010. № 11. С. 153-155.
7. Иванов В.В., Таланов В.М., Гусаров В.В. // Наносистемы: Физика, Химия, Математика, 2011. Т. 2. № 3. С. 121-134.
8. Иванов В.В., Таланов В.М. // Успехи соврем. естествознания. 2012. №8. С.75-77.
9. Иванов В.В., Таланов В.М. // Успехи соврем. естествознания. 2012. №9. С.74-77.
10. Иванов В.В., Таланов В.М. // Успехи соврем. естествознания. 2012. №10. С.78-80.
11. Иванов В.В., Таланов В.М. // Журнал структурной химии. 2013. Т.54. №2. С.354-376.
12. Иванов В.В., Шабельская Н.П., Таланов В.М., Попов В.П. // Успехи соврем. естествознания, 2012. № 2. С. 60-63.
13. Иванов В.В., Таланов В.М. // Успехи соврем. естествознания, 2012. № 3. С. 56-57.
14. Иванов В.В., Демьян В.В., Таланов В.М. // Успехи соврем. естествознания. 2012. № 4. С. 230-232.
15. Иванов В.В., Таланов В.М. // Соврем. наукоемкие технологии. 2012. № 2. С. 76-78.
16. Щербаков И.Н., Иванов В.В., Логинов В.Т., Дерлу-
гян П.Д., Трофимов Г.Е., Дерлугян Ф.П. Химическое наноконструирование композиционных материалов и покрытий с антифрикционными свойствами. – Ростов н/Д: Изд-во журн. «Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки», 2011. 152 с.
17. Патент 2422561 Рос. Федерация / Балакай В.И., Арзуманова А.В., Балакай И.В., Балакай К.В., Бырылов И.Ф., Иванов В.В. Опубл. 27.06 2011. Бюл. № 18.
18. Патент 2451113 Рос. Федерация / Трофимов Г.Е., Щербаков И.Н., Шевченко М.Ю., Логинов В.Т., Дерлугян П.Д., Дерлугян Ф.П., Иванов В.В. Опубл. 20.05 2012. Бюл. № 14.
19. Патент 2473711 Рос. Федерация / Трофимов Г.Е., Щербаков И.Н., Шевченко М.Ю., Логинов В.Т., Дерлугян П.Д., Дерлугян Ф.П., Иванов В.В. Опубл. 27.01 2013. Бюл. № 3.

Детерминистические фрактальные решетки являются представителями фракталов с конечным ветвлением и, как правило, построены из затравки в виде определенного фрагмента 2D-решетки [1]. Геометрическим генератором фрактальных решеток может быть фрагмент 2D дважды периодических полигонных R{Pg}im-структур, в частности, тетрагонных R{4}im-структур, соответствующих 2D-сетке 4444 или ее производным [1]. При этом предполагается, что в вершинах тетрагона могут располагаться атомы, комплексные частицы – молекулы, кластеры.

Процедура формирования генератора G = LN{4}, i, k из квадратного фрагмента тетрагонной R{4}im-структуры определяется законом транскрипции, а процедура получения самоподобных фрактальных решеточных n-структур FN{4},i,k{2-} – итерационным законом, где N – количество тетрагонов {4} в квадратном фрагменте 2D-пространства со стороной b; i – характеристика «ядра» двумерной тетрагонной структуры, которая определяла способ его ветвления (посредством вершин iv или сторон ir тетрагона); k = b-1 – коэффициент самоподобия генерируемой фрактальной FN{4}ik-структуры; {2-} – классификационный параметр, указывающий топологическую размерность инициального объекта (плоскости) и тенденцию изменения размерности при переходе к генератору, n – целочисленный индекс, характеризующий количество применяемых итераций [2-5].

Фрактальная размерность Dim решетки в соответствии с [1] может быть определена из соотношения

Dim = lnN (lnb)–1,

где N – число тетрагонов в генераторе, b – сторона генератора (в отн. ед.).

Тогда, если (b2 – N) – число лакун в квадратном генераторе, имеем следующее соотношение

Dimlac = ln(b2 – N) (lnb)–1 ,

где Dimlac – лакунарная размерность фрактальной решетки, характеризующая возможное дополнение данной фрактальной решетки до 2D тетрагонной R{4}im-структуры. Все FN{4},i,k-структуры отличаются по своим лакунарным спектральным характеристикам, которые можно считать диагностическими [6-15]. Отметим, что каждая из FN{4},i,k -структур формально может быть первым членом гомологического ряда соответствующих структур (рис. 1). Полученные с помощью итерационного модулярного дизайна на тригонной сетке фрактальные решетки с FN{3},i,k-структурами также соотносятся с гомологической серией фрактальных структур вида F(6+2n){3}, I, 1/(3(2+n))1/2 и F(3+3n){3}, I, 1/(2+n) и классической треугольной косынкой Серпинского F3{3},3(r),1/3 [1] (рис. 2).

derlug1.tif

Рис. 1. Изображения первых четырех членов трех пар гомологических рядов детерминистических решеток с генераторами L(1+4n) {4},i, [3(1+2n)]1/2 (А-а), L(1+2n+2n2) {4},i, (1+2n) (А-б), L(14+2n) {4},i, [5(4+n)]1/2 (Б-а), L(12+4n) {4},i, (4+n)] (Б-б), L(1+4n) {4},i, (1+2n) (В-а) и L(1+4n) {4},i, (1+2n) (В-б)

Фрактальные размерности тетрагонных FN{4},i,k и тригонных FN{3},i,k -структур закономерно изменяются с увеличением порядкового номера n в соответствующем гомологическом ряду генераторов внутри интервала значений Dim [1, 2] (рис. 3). Аналогичные закономерности наблюдаются и для лакунарных размерностей указанных структур. Значения локальной и лакунарной размерностей для каждой фрактальной структуры могут быть использованы при определении квазиупорядоченного сайт-распределения определенных фаз по поверхности композиционного покрытия и конфигурационных характеристик межфазных границ. На основе этих данных возможна оценка поверхностной доли твердого смазочного компонента и расчет трибологических свойств покрытия в соответствии с синергической моделью [16].

derlug2.tif

Рис. 2. Изображения первых четырех членов гомологических рядов салфеток Серпинского с генераторами L(4+4n){4}, i, 1/(2+n) (а), L(3+3n){4}, i, 1/(2+n) (б) (слева) и ковров Серпинского с генераторами L(6+2n){3}, i, 1/(3(2+n))1/2 (а), L(4+4n){3}, i, 1/(2+n) (б)

derlug3.tif

Рис. 3. Изменение размерности фрактальных структур вида FN{4}ik{2-} от порядкового номера n в гомологических рядах генераторов салфеток Серпинского L(6+2n){3}, i, 1/(3(2+n))1/2 (1) и L(4+4n){3}, i, 1/(2+n) (2), ковров Серпинского L(4+4n){4}, i, 1/(2+n) (3) и L(3+3n){4}, i, 1/(2+n) (4), решеток L(4+2n){3}, i, 1/(2+n) (5), L(1+4n){3}, i, 1/(3(2+n) (6) и L(4+8n){3}, i, 1/(2+4n) (7)

Отметим, что приведенные выше примеры рядов генераторов фрактальных структур вида FN{4},i,k могут быть существенно дополнены множеством рядов генераторов, отражающих результат клеточной аппроксимации последовательных стадий «роста» различных линий 3-го и 4-го порядка, а также трансцендентных линий, в том числе спиралей и циклоидальных кривых.

Таким образом, в 2D-пространстве могут быть сформированы фрактальные структуры вида FN{4},i,k{2-}. Данные фрактальные структуры характеризуются размерностями практически во всем диапазоне значений в интервале от 1 до 2 и могут быть использованы для интерпретации результатов исследований трибологических свойств поверхности композиционных материалов и покрытий [16-19].

 

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, соглашение № 14.U01.21.1078.


Библиографическая ссылка

Дерлугян П.Д., Иванов В.В., Иванова И.В., Шишка В.Г., Дерлугян Ф.П., Бережной Ю.М. ФОРМИРОВАНИЕ ПОЛИГОННЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР С НЕОБХОДИМЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ В 2D-ПРОСТРАНСТВЕ // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 10-1. – С. 161-163;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=33402 (дата обращения: 30.09.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074