Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,909

Ряд простых чисел в двоичной системе

Мазуркин П.М. 1
1 Марийский государственный технический университет
Для доказательства знаменитой гипотезы Римана о том, что вещественная часть корня всегда в точности равна 1/2, ряд из 500 и других простых чисел был преобразован из десятичной в двоичную систему счисления. При этом стали наглядными нетривиальные нули. Любое простое число можно представить как квантованный в двоичной системе дискретный сигнал. Шаг квантования для не разреженного ряда простых чисел равен 1. Число уровней (разрядов двоичной системы) зависит от мощности квантуемого ряда простых чисел. В итоге получаем два типа нулей – тривиальные и нетривиальные. Мощность конечномерного ряда простых чисел нужно принимать исходя из полноты блоков матрицы инцидентности. Показателем становится среднестатистическое двоичное число, а влияющей переменной – само простое число. Двоичное представление позволяет наглядно представить и геометрические узоры в полном ряду простых чисел.
простые числа
преобразование
геометрия
критерии
1. Гашков С.Б. Системы счисления и их применение. – М.: МЦНМО, 2004. – 52 с.
2. Сигнал. . – URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/ %D0 %A1 %D0 %B8 %D0 %B3 %D0 %BD %D0 %B0 %D0 %BB.
3. Мазуркин П.М. Биотехнический закон и примеры из техники и эконометрики // Успехи современного естествознания. – 2009. – № 9. – С. 97–102.
4. Мазуркин П.М. Биотехнический закон и содержательная адекватность модели // Успехи современного естествознания. – 2009. – № 9. – С. 115–120.
5. Цагер Д. Первые 50 миллионов простых чисел // Успехи математических наук. – 1984. – Т. 39. – № 6(240) . – С. 175–190.

Десятичная система счисления по плотности записи уступает многим другим системам счисления, но по удобству и в силу привычки по частоте пользования человеком на момент 02.07.2011 превосходит другие системы счисления (из Интернета).

Двоичная система счисления для ряда простых чисел должна стать эффективной позиционной системой. В ней используется всего две целые цифры: 0 и 1 [1].

Квантование простого числа. Любое простое число можно представить как квантованный в двоичной системе дискретный сигнал. При квантовании вся область значений сигнала разбивается на уровни, количество которых должно быть представлено в числах заданной разрядности [2]. Расстояние между этими уровнями называется шагом квантования, и он для не разреженного ряда простых чисел равен 1. Количество этих уровней (разрядов двоичной системы счисления) зависит от мощности квантуемого ряда простых чисел.

500 простых чисел. Примем ряд простых чисел a(n) = {2, 3, 5, ..., 3571} при n = {1, 2, 3, ..., 500} . В табл. 1 приведены фрагменты квантования на граничных переходах (реперах) между разрядами i2 двоичной системы счисления. Слева дан i10 десятичной системы.

Известно давно, что для чисел, растущих закономерно, например, для степеней двойки, было бы, конечно, нелепо разыскивать экземпляр, превосходящий все известные. Для простых же чисел прилагаются громадные усилия, чтобы именно это и сделать. Простые числа подвергались факторизации, т.е. разложению по множителям и числам с большими степенями двойки.

Вот эта увлечение и не позволило математикам применить двоичную систему для анализа не множителей любого простого числа, а квантованных в двоичной системе слагаемых.

Свойства простого числа. По иерархии рассмотрим несколько основных свойств.

1. Любое простое число содержит разряды i2 = 1, 2, ... двоичной системы и составляющие

Eqn18.wmf (1)

2. Любое простое число равно сумме составляющих с учетом матрицы инцидентности

Eqn19.wmf (2)

где ξ(i2, n) – матрица инцидентности, причем всегда ξ(i2, n) = 0 ∨ 1. Для бесконечномерного ряда простых чисел имеем уровни квантования или область разрядов двоичной системы i2 = (1, ∞).

Таблица 1

Ряд простых чисел в десятичной и двоичной системах счисленияПример вычислений по формуле (2) приведен в табл. 2.

Мощность  ряда Разряд числа i10 Порядок n простого числа Простое число a(n) Разряд числа i2 двоичной системы исчисления (уровень квантования)
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Значение части Eqn18.wmf простого числа по уровню квантования
2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
4 1 1 2                     1 0
1 2 3                     1 1
1 3 5                   1 0 1
1 4 7                   1 1 1
25 2 5 11                 1 0 1 1
2 6 13                 1 1 0 1
2 7 17               1 0 0 0 1
2 8 19               1 0 0 1 1
2 9 23               1 0 1 1 1
2 10 29               1 1 1 0 1
2 11 31               1 1 1 1 1
2 12 37             1 0 0 1 0 1
2 13 41             1 0 1 0 0 1
2 14 43             1 0 1 0 1 1
2 15 47             1 0 1 1 1 1
2 16 53             1 1 0 1 0 1
2 17 59             1 1 1 0 1 1
2 18 61             1 1 1 1 0 1
2 19 67           1 0 0 0 0 1 1
2 20 71           1 0 0 0 1 1 1
168 3 30 113           1 1 1 0 0 0 1
3 31 127           1 1 1 1 1 1 1
3 32 131         1 0 0 0 0 0 1 1
3 33 137         1 0 0 0 1 0 0 1
168 3 53 241         1 1 1 1 0 0 0 1
3 54 251         1 1 1 1 1 0 1 1
3 55 257       1 0 0 0 0 0 0 0 1
3 56 263       1 0 0 0 0 0 1 1 1
168 3 96 503       1 1 1 1 1 0 1 1 1
3 97 509       1 1 1 1 1 1 1 0 1
3 98 521     1 0 0 0 0 0 1 0 0 1
3 99 523     1 0 0 0 0 0 1 0 1 1
1229 4 171 1019     1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
4 172 1021     1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
4 173 1031   1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
4 174 1033   1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
1229 4 308 2029   1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1
4 309 2039   1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1
4 310 2053 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
4 311 2063 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1229 4 496 3541 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1
4 497 3547 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
4 498 3557 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1
4 499 3559 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1
4 500 3571 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1

В итоге получаем два типа нулей – тривиальные и нетривиальные. Первые расположены, как видно из данных двух таблиц, слева до вертикали 1 в каждом блоке. А нетривиальные нули располагаются внутри двух столбцов с 1, причем левый столбец 1 сдвигается по блокам по мере увеличения простого числа. В табл. 1 тривиальные нули показаны пустыми клетками.

Таблица 2

Ряд простых чисел (фрагмент) в десятичной системе счисления

Порядок n простого числа

Простое число a(n)

Разряд числа i2 двоичной системы исчисления

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Значение части Eqn18.wmf простого числа

2048

1024

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

1

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

2

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

1

3

5

Тривиальные нули

0

0

0

0

0

0

4

0

1

4

7

0

0

0

0

0

0

4

2

1

5

11

0

0

0

0

0

0

0

0

8

0

2

1

6

13

0

0

0

0

0

0

0

0

8

4

0

1

7

17

0

0

0

0

0

0

0

16

0

0

0

1

8

19

0

0

0

0

0

0

0

16

0

0

2

1

9

23

0

0

0

0

0

0

0

16

0

4

2

1

10

29

0

0

0

0

0

0

0

16

8

4

0

1

11

31

0

0

0

0

0

0

0

16

8

4

2

1

12

37

0

0

0

0

0

0

32

0

0

4

0

1

Примечание. Начало (репер) каждого блока простых чисел показано жирным шрифтом.

3. Количество нетривиальных нулей стремится к бесконечности, так как ряд уровней квантования также стремится к бесконечности при условиях n → ∞, a(n) → ∞ и i2 = (1, ∞).

4. При первом разряде i2 = 1 двоичного числа (табл. 1) для условий n = 1 и a(n) = 2 инцидентность равна ξ(i2, n) = 0, а для ряда некритичных простых чисел P = {1, 5, 7, 11, 13, 17, ...} инцидентность равна ξ(i2, n) = 1, причем на всем протяжении n = (2, ∞) и a(n) = (3, ∞). Критичные простые числа требуют отдельного исследования.

5. Для некритичных простых чисел n = (2, ∞) и a(n) = (3, ∞) будут адекватными выводы, полученные на конечномерном ряду a(n) = {3, 5, ..., 3571} при мощности n = {1, 2, 3, ..., 500} .

Математический ландшафт. В замечательной серии фильмов «De Code» (19.07; 26.07 и 02.08.2011) ведущий Марк Дюсотой показывал графическую картину трехмерного «математического ландшафта» дзета-функции Римана. Все обращают внимание на нетривиальные нули на критической линии. Их уже насчитали несколько триллионов.

Но нас привлекло в этом в ландшафте другое – круто поднимающиеся склоны при приближении n → 0. Расклад в двоичной системе все бесконечно высокие «горы» превращает в выступы одинаковой высоты, равной единице. На рис. 1 приведен трехмерный график, для наглядности построенный только в части одного блока всего из 20 простых чисел.

рис_12.wmf

Рис. 1. Математический ландшафт фрагмента табл. 1 из 20 простых числе от 1031 до 1163

На рис. 1 появляется некий потолок из единиц, кроме «пола» из нетривиальных нулей. Между ними существует неизвестная связь. Тогда римановская сверхсложная поверхность, из-за представления в комплексных числах, преобразуется в двухслойный «пирог».

Придется рассматривать эти два слоя вдоль (по порядку простых чисел) и поперек (по разрядам i2). Для анализа введем показатель – двоичное число z2, принимающий вещественные значения.

Двоичное число вдоль ряда. Для анализа из данных табл. 1 были приняты только цельные блоки матрицы инцидентности, т.е. без тривиальных нулей. Для столбца с i2 = 1 придется исключить первую строку и тогда получим z2 = 1. Это и есть та «гора», от которой в поперечном направлении будут появляться нетривиальные нули. То, что условие z2 = 1 будет неизменным на всем бесконечномерном протяжении a(n) = (3, ∞), рассмотрим в другой статье.

Для a(n) = (2, 500) (кроме i2 = 1) получились среднестатистические значения (табл. 3).

Таблица 3

Влияние разряда

Разряд числа i2

Факт Eqn20.wmf

1

1

2

0,51000

3

0,50402

4

0,50605

5

0,48988

6

0,49284

7

0,51452

8

0,53518

9

0,54036

10

0,51117

11

0,60366

12

1

Влияние разряда i2. После идентификации устойчивыми законами [3, 4] для 500 строк (без i2 = 12) была получена (рис. 2) модель

Eqn21.wmf (3)

У четырехчленной модели распределения среднестатистического значения двоичного числа первая составляющая является законом экспоненциальной гибели (крутизна спада ландшафта), а вторая – законом экспоненциального роста, начиная от третьего разряда двоичной системы счисления. Затем дополнительные колебательные возмущения дают две волны адаптации. Первая из них имеет нарастающую амплитуду и показывает, что при условии i2 ≥ 3 половина амплитуды двоичного числа возрастает по закону показательного роста.

рис_13.wmf

Рис. 2. График формулы (3): r – коэффициент корреляции

Вторая волна через какой-то разряд i2  будет приближаться к нулю. Картина совершенно изменится с дальнейшим ростом ряда простых чисел.

Максимальная относительная погрешность формулы (3) при i2 = 11 равна

100·2,47674e – 005/0,60366 = 0,0041 %.

При этом график очень схож с дзета-функцией Римана.

Блоки простых чисел. Вычислительные эксперименты показали, что мощность ряда нужно принимать исходя из полноты блоков матрицы инцидентности. Для примера берем блок № 11 с фрагментом, имеющим параметры: n = (173,309), a(n) = (1031,2039), i2  = (1,11). Сравнение показало существенность мощности ряда простых чисел, у которого порядковый номер имеет только вспомогательное значение. Показателем становится среднестатистическое (только не среднеарифметическое) двоичное число, а объясняющей переменной – само простое число.

Расчеты по блоку № 11 (рис. 3) приведены в табл. 4 и были выполнены по формуле

Eqn22.wmf (4)

Таблица 4

Влияние простого числа на двоичное число по разрядам двоичной системы счисления

Разряд числа i2 

Часть

Eqn18.wmf

Cредне-статистическое

Eqn20.wmf

Параметры статистической модели (4) двоичного числа

Коэффициент корреляции r

a1

a2

a3

a4

a5

a6

1

1

1

0,5

-0,5

0

0

0

0

1

2

2

0,51825

0,5

0,5

2

0

0

1,59217

1

3

4

0,51825

0,5

0,70711

4

0

0

1,57080

1

4

8

0,53285

0,50079

0,64897

8,00054

0

0

-4,72553

0,9251

5

16

0,48175

0,50339

-0,64642

15,99613

0

0

4,82479

0,9069

6

32

0,40876

0,50997

0,63517

32,02910

0

0

1,46990

0,8975

7

64

0,51825

0,52117

0,63090

66,31876

-0,00066974

1

0,090540

0,9066

8

128

0,51095

0,50345

0,61806

129,7168

8,62532е-5

1,11225

0,94630

0,9132

9

256

0,48175

0,49203

0,64200

266,3384

1,85033е-5

1,52406

0,73950

0,9147

10

512

0,48905

0,50536

0,61721

682,0366

-0,34387

0,64381

-0,35596

0,9291

11

1024

1

0,5

-0,5

0

0

0

0

1

Если не учитывать первый и последний разряды двоичной системы, то наиболее близко к рациональному числу 1/2 по вещественным значениям формулы (4) находится разряд i2 = 2.

Как видно из графиков на рис. 3, остатки приближаются к нулю только при двух разрядах 2 и 3. В остальных случаях они находятся во всём промежутке (–0,5; +0,5).

Критические нули или единицы? Формула (4) по мере приближения ко второму разряду постепенно редуцируется до выражения

Eqn23.wmf,

получая постоянную частоту колебания с полупериодами 2 или 4. Критичными становятся как нули, так и единицы.

Вещественная часть 1/2. Из Интернета известно: «А вот знаменитая гипотеза Римана, что вещественная часть корня всегда в точности равна 1/2, ещё никем не доказана, хотя её доказательство имело бы для теории простых чисел в высшей степени важное значение».

Уравнение (4) дает, что не только вещественная часть корня равна 1/2. В формулах

Eqn24.wmf

и

Eqn25.wmf (5)

выражение перед функцией косинуса на критичной линии точно равно 1/2. Параметры 1,59217 и 1,57080, показывающие сдвиг волны с постоянной амплитудой, очень близки к иррациональному числу π/2, а число 0,70711 близок к π/4. Появление числа пространства π превращает уравнение (4) в модель пространственного сигнала. Он характеризуется симметричным вейвлетом с постоянной амплитудой ±1/2 и переменной частотой (в формуле – полупериодом).

Дзета-функции Римана имеет нули в отрицательных четных, кратных 2. Но данные табл. 3 показывают, что кратность появления нетривиальных нулей равна Eqn26.wmf. Тогда по Риману получается Eqn26.wmf только при условии i2 = 2, то есть именно на критичной линии.

Заметим также, что в дзета-функции в комплексных переменных принята функция синуса, но косинус лучше для действительных чисел, так как позволяет не обращать внимания на знаки в выражении под тригонометрической функцией. Косинус работает в обоих квадрантах на ряде натуральных чисел (0, 1, 2, ..., ∞). Поэтому он будет удачным и в ряде простых чисел.

Алгоритм прогнозирования простого числа. Пока мы не уверены в возможности прогнозирования очередного члена в ряду простых чисел. Но, через их преобразование в двоичной системе счисления, становятся понятными границы между блоками. Правила перевода десятичных чисел в двоичные [1] вполне достаточны для объяснения «прыжков» в ряду простых чисел.

Асимптотические реперы. Мощностью ряда простых чисел вполне можно управлять. Для этого из табл. 2 выпишем выделенные жирным шрифтом значения NR (табл. 4).

рис_14.wmf

рис_15.wmf

При разряде i2 = 2 двоичной системы

Остатки после модели двоичного числа

рис_16.wmf

рис_17.wmf

При разряде i2 = 3 двоичной системы

Остатки после модели двоичного числа

рис_18.wmf

рис_19.wmf

При разряде i2 = 4 двоичной системы

Остатки после модели двоичного числа

рис_20.wmf

рис_21.wmf

При разряде i2 = 5 двоичной системы

Остатки после модели двоичного числа

рис_74.wmf

рис_75.wmf

При разряде i2 = 6 двоичной системы

Остатки после модели двоичного числа

рис_22.wmf

рис_23.wmf

При разряде i2 = 7 двоичной системы

Остатки после модели двоичного числа

рис_24.wmf

рис_25.wmf

При разряде i2 = 8 двоичной системы

Остатки после модели двоичного числа

рис_26.wmf

рис_27.wmf

При разряде i2 = 9 двоичной системы

Остатки после модели двоичного числа

рис_28.wmf

рис_29.wmf

При разряде i2 = 10 двоичной системы

Остатки после модели двоичного числа

Рис. 3. Графики статистической модели (4) двоичного числа: S – дисперсия; r – коэффициент корреляции

Таблица 4

Асимптотические реперы ряда простых чисел в количестве 500 шт.

a(n)

2

5

11

17

37

67

131

257

521

1031

2053

NR

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

Выводы

Для доказательства гипотезы Римана о том, что вещественная часть корня всегда в точности равна 1/2, выполнено преобразование простых чисел в двоичной системе счисления. Появились геометрия простых чисел и стали наглядными нетривиальные и нетривиальные нули, а также новые критерии и свойства.

1. Гашков С.Б. Системы счисления и их применение. – М.: МЦНМО, 2004. – 52 с.

2. Сигнал. . – URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/ %D0 %A1 %D0 %B8 %D0 %B3 %D0 %BD %D0 %B0 %D0 %BB.

3. Мазуркин П.М. Биотехнический закон и примеры из техники и эконометрики // Успехи современного естествознания. – 2009. – № 9. – С. 97–102.

4. Мазуркин П.М. Биотехнический закон и содержательная адекватность модели // Успехи современного естествознания. – 2009. – № 9. – С. 115–120.

5. Цагер Д. Первые 50 миллионов простых чисел // Успехи математических наук. – 1984. – Т. 39. – № 6(240) . – С. 175–190.


Библиографическая ссылка

Мазуркин П.М. Ряд простых чисел в двоичной системе // Современные наукоемкие технологии. – 2012. – № 10. – С. 23-30;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=30985 (дата обращения: 11.12.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074