Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,021

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ДЕЙСТВУЮЩИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ФУНКЦИЮ СОСТОЯНИЯ (ПРОГИБ)

Крупенин В.Л.
 Рассмотрим линейное волновое уравнение, описывающее состояние (прогиб от положения равновесия) линейной струны. Пусть прогиб есть u(x,t); t>0, x€[-1/2, 1/2]. И пусть:

u(x,t) ≥ Δ>-1;                           (1)

u(0,t) ≥ Δ>Δ                             (2)

При реализации строгих неравенств система описывается линейным волновым уравнением u≡utt-uxx=0, где без ограничения общности приняты единичными физические параметры струны. граничные и начальные условия: u(-1/2,t)=u(1/2,t)=0; u(x,0)=u0(x); ut(x,0)=0. Гладкость функции u0(x) обеспечивает существование и единственность решения линейной задачи Коши для уравнения u=0, по крайней мере, в обобщенном смысле. Приведем определяющие соотношения.

При реализации в соотношении (1) равенства, ограничитель действуют на струну «от себя». Поэтому при x≠0, если u< 0, то u≥0. Оперируя с обобщенными решениями, потребуем, чтобы носитель обобщенной функции supp uc{(x,t);x=0, |u(x,t)|=Δ}. Гипотеза удара предполагает, что потерь энергии не происходит, т.е. как и для линейной струны в смысле обобщенных функций

δ/δt (|ux|2+|ut|2}=δ/δx (2utux).                     (3)

Это соотношение в данном уже «нелинейном случае» постулируется и дает аналог классической гипотезы об абсолютно упругом ударе:

ut(x,t-0)=-ut(x,t+0), (x,t)€ supp u; u(x,t)= Δ; x≠0.

При x=0 образуются временные выстои струны.. При этом во время выстоя на струну при u(0,t)=Δ1 (t€[tk, θk]) действует сила реакции Rk(t), где tk и θk - моменты начала и конца выстоя; k -целочисленный индекс - здесь и везде отвечает некоему k-му взаимодействию.

Тогда, если записать обобщенную функцию Ф0[u], символически выражающую силу порождаемую ограничениями (1) и (2), она, будет представляться в виде двух обобщенных функций: Ф0[u]=Ф1[u]+Ф2[u]. Причем при n взаимодействии,

Ф1[u]=J(x)δ[t-tn(x)]γ(x;Δ).                       (4)

Здесь J(x) -плотность ударного импульса, tn(x) - распределение n-й «фазы» удара, определяемой в данном случае как решение уравнения u[x, tn(x)]|=Δ, где x≠0; δ(t) - δ-функция Дирака. Индикаторная функция - нестрогое. Для второй составляющей силы взаимодействия в некоем j-м случае имеем:

Ф2[u]= Rj(t) δ(x)[η(t- tj) - η(t-θj)], Rj(t)= ux(-0,t) - ux(+0,t)>0,; t€[tj, θj],                   (5)

где η(t) - единичная функция Хевисайда. Анализируемая задача, следовательно, может быть записана в виде нелинейного уравнения типа Клейна - Гордона u-Ф0[u]=0 с краевыми и начальными условиями (2).

Выведем представления периодических стоячих волн некоторого периода T(E)=2π/ω где ω - частота; Е - полная энергия. Воспользуемся методами частотно-временного анализа к интегральному уравнению T- периодических колебаний     

u(x,t)=∫ 0-1/2 ∫ χ(x,y; t-s)Ф0[u(x,t-s)]dsdy;                            (6)

При этом периодическая функция Грина (ПФГ):

χ(x,y; t )= Σsinπn(x+1/2)sinπn(z+1/2)χn(t). n =0, ±1, ±2,...                     (7)

Внося (4) и (5) в (6), находим, предполагая, что за каждый период искомого периодического движения происходит лишь одно взаимодействие:

                                                                                  u(x,t)=∫½ -1/2 J(y) γ(y;Δ) χ (x,y;t-φ (y)]dy+θ1τ1R(s) χ (x,0;t-s)ds,         (8)

 где φ (x) - распределение фазы удара. Представление решения в виде называется трехфункциональным, ибо три функции J(x),φ(x) и R(t), определяемые сформулированными выше условиями и дают описание искомой стоячей периодической волны.

Методы вычислений ПФГ χ, параметров θ1 и t1 и др. даны в [1].

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей // ДАН-. № 388 (3). -2003.

Библиографическая ссылка

Крупенин В.Л. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ДЕЙСТВУЮЩИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ФУНКЦИЮ СОСТОЯНИЯ (ПРОГИБ) // Современные наукоемкие технологии. – 2008. – № 11. – С. 57-58;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=24321 (дата обращения: 06.12.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074