Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,916

РЕАЛИЗАЦИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СИГНАЛОВ В РАСШИРЕННЫХ ПОЛЯХ ГАЛУА

Калмыков И.А. Тимошенко Л.И. Лободин М.В. Сагдеев А.К.
При анализе сигналов и цифровых методах их обработки особое внимание привлекают ортогональные преобразования благодаря простоте вычисления координат разлагаемых функций в пространстве. Такие преобразования определены над полем комплексных чисел,

 ;                                              (1)

,                                      (2)

где - поворачивающий коэффициент;x(n) - количество отсчетов, , .

Известно, что реализация прямого и обратного ДПФ предопределяет значительные погрешности при вычислении значений спектральных коэффициентов в поле комплексных чисел. С этой точки зрения наиболее привлекательными являются преобразования, определенные над расширенным полем Галуа . Пусть β является элементом порядка k в мультипликативной группе ненулевых элементов . Тогда выражение (1) имеет вид

, .               (3)

Преобразование обратное (3), определяется выражением

, , (4)

где d* - целое число, удовлетворяющее условию

.                                                              (5)

Анализ выражений (3) и (4) показывает, что полученное преобразование аналогично ДПФ комплексной области и действует в пространстве циклической группы порядка d, определенной полем GF (pv). Так как βkn и x(n) представляют собой целочисленные элементы расширенного поля Галуа, то при реализации выражений (3) и (4) будут полностью отсутствовать шумы округления. Поэтому оценка спектральных составляющих с помощью (3) и (4) будет более точной по сравнению с ДПФ.

Пусть дана последовательность . Представим её в двоичном виде . Исходя из условия возможности представления квантованных значений x(n) в виде элементов расширенного поля Галуа , получаем входной вектор .

Преобразуем выражение (3) к матричному виду. Тогда значения спектральных составляющих можно представить

(6)

Следует отметить, что операции сложения при вычислении выходного вектора  выполнялись по модулю 2, а операции умножения - по модулю порождающего полинома .

Для осуществления обратного преобразования необходимо воспользоваться выражением (4), предварительно определив значение обратного элемента d*. Согласно равенству (5) он равен единице, т.е. d* =1 . Тогда выражение (4) в матричной форме примет следующий вид:

(7)

Для повышения эффективности реализации задач ЦОС целесообразно обработку одномерных сигналов свести к обработке многомерных сигналов [1,3]. Отправной точкой при решении данной проблемы является изоморфизм, порожденный теоремой теории чисел, называемой китайской теоремой об остатках (КТО). Согласно данной теореме, если  и pi- простые числа, то кольцо Zp  класса вычетов по модулю P изоморфно прямой сумме

конечных полей GF (pi):

.          (8)

Основным преимуществом  - арифметики является возможность организации параллельных вычислений и, следовательно, значительное повышение быстродействия арифметических устройств.

Если в качестве оснований новой алгебраической системы выбрать минимальные многочлены pi(z) поля GF(pv), то любой полином A(z), удовлетворяющий условию

A(z) € P пол

где

,                               (9)

можно представить в виде n-мерного вектора

,                            (10)

где , i = 1,2,...,n.

Так как сравнения по одному и тому же модулю можно почленно складывать, вычитать и умножать [2], то для суммы, разности и произведения A(z) и  B(z), имеющих соответственно модулярные коды и  справедливо:

,(11)

,(12)

. (13)

Таким образом, выполнение операций над операндами в GF(pv) производятся независимо по каждому из модулей pi(z), что указывает на параллелизм данной алгебраической системы.

Рассмотрим пример. Пусть задано расширенное поле Галуа GF (23) . Для данного поля определены минимальные многочлены

; ; .

Найдем сумму и произведение двух полиномов  и . Данные полиномы принадлежит диапазону P(z), который определяется следующим выражением:

Представим исходные полиномы в виде модулярного кода по основаниям p1(z),p2(z) ,p3(z) . Тогда , а .

Сумма двух полиномов в GF(23) равна

.

Реализуем данную операцию, используя выражение (11).

Следует отметить, что операции сложения и вычитания в расширенных полях Галуа GF(pv) выполняются по модулю p, то есть в рассмотренном примере по модулю 2.

Выполним операцию умножения данных полиномов

Реализуем данную операцию, воспользовавшись выражением (13). Тогда

,

где

Из приведенного примера видно, что выполнение операции сложения и умножения в полиномиальном виде и в виде кода ПСКВ дает один и тот же результат. При этом порядок операндов A(z) и B(z) был уменьшен более чем в 2 раза, что является базовой предпосылкой для построения высокоскоростных вычислительных устройств ЦОС.

Таким образом, применение полиномиальной системы классов вычетов позволяет осуществлять ортогональные преобразования сигналов с использованием параллельных вычислений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Калмыков И.А. Математические модели нейросетевых отказоустойчивых вычислительных средств, функционирующих в полиномиальной системе классов вычетов/Под ред. Н.И. Червякова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 276 с
  2. Калмыков И.А., Чипига А.Ф. Структура нейронной сети для реализации цифровой обработки сигналов повышенной разрядности/Вестник Ставропольского Государственного Университета,2004, Выпуск №38 с.46-50.
  3. Элементы применения компьютерной математики и нейроинформатики/Н.И. Червяков, И.А. Калмыков И.А., В.А. Галкина, Ю.О. Щелкунова, А.А. Шилов; Под ред. Н.И. Червякова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 216с.

Библиографическая ссылка

Калмыков И.А., Тимошенко Л.И., Лободин М.В., Сагдеев А.К. РЕАЛИЗАЦИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СИГНАЛОВ В РАСШИРЕННЫХ ПОЛЯХ ГАЛУА // Современные наукоемкие технологии. – 2006. – № 4. – С. 54-57;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=22641 (дата обращения: 05.04.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074