Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,021

TERMS COMPLETENESS OF ROOT SUBSPACES HAVE A NONSELFADJOINT OPERATOR WITH DISCRETE SPECTRUM

Satybaldiev O.S. 1
1 Kazakh National Technical University named after K.I. Satpayev
В теории дифференциальных уравнений существуют два основных направления. Для первого характерно преимущественное внимание к изучению свойств отдельных решений. С другой стороны, можно рассматривать дифференциальное выражение, как оператор в пространстве функций и изучать свойства этого оператора. Развитие квантовой механики особенно подчеркнуло важность операторного подхода к линейным дифференциальным уравнениям. Было выяснено, что во многих случаях определение спектра линейного дифференциального уравнения является не менее важной задачей для физики, чем изучение отдельных решений. Поэтому возникает потребность научиться непосредственно исследовать спектра уравнения, обходя гораздо более трудную задачу его интегрирования. В настоящей заметке для несамосопряженного оператора типа Шредингера высокого порядка, рассматриваемого в L2(Rn), получены теоремы о полноте корневых векторов.
In the theory of differential equations there are two principal trends. The first one is devoted to analysis the properties of some solutions. The second one is devoted to analysis the differential operators. Quantum mechanics shows the importance of an operator method for linear differential equations. That is why there is exists the necessity to study the spectrum of differential equations instead of the problem of integrations. In this article the theorems on completeness of root vectors for nonselfadjoint Schrodinger operator of high order in L2(Rn) are obtained.
root subspace
nonselfadjoint operator
discrete spectrum
completeness
compact set

Вопросам полноты системы корневых векторов несамосопряженных операторов посвящена большая серия работ как советских, так и зарубежных математиков, появившихся в основном после 50-х годов прошлого века. А первые результаты по вопросам полноты корневых подпространств несамосопряженных операторов, по-видимому, были получены Б. Биркгофом в начале прошлого столетия. Впоследствии существенные результаты в этом направлении были получены Я. Тамаркиным в случае обыкновенных несамосопряженных дифференциальных операторов с регулярными краевыми условиями. Эти авторы отправлялись от методов Коши и Пуанкаре, основанных на изучении асимптотических свойств резольвенты. Что касается краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, то ввиду сложного строения резольвенты, в течение продолжительного времени не удавалось получить ничего аналогичного. Лишь в 30-х годах Т. Карлеману оригинальным образом удалось установить полноту системы корневых векторов для эллиптических операторов второго порядка. Однако вопрос о полноте системы корневых векторов в случае дифференциальных операторов с частными производными оставался и после работ Карлемана еще продолжительное время открытым.

Положение это изменилось лишь в 1951 г. в связи с появлением работы М.В. Келдыша [2], в которой получены теоремы о полноте системы корневых векторов и теоремы об асимптотических свойствах собственных чисел для широкого класса полиноминальных пучков несамосопряженных операторов. Эти теоремы позволили получить важные результаты в краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных, они привели также к новым сильным результатам и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений.

Вышеупомянутая работа М.В. Келдыша стимулировала появление глубоких исследований по вопросам полноты системы корневых векторов несамосопряженных операторов. Библиография этих работ весьма многочисленна (можно посмотреть, например в [1]).

Мы будем рассматривать линейные несамосопряженные операторы A, действующие в гильбертовом пространстве H и обладающие дискретным спектром. Последнее означает что все точки спектра оператора A (за исключением, быть может, одной) являются изолированными и соответствующее им подпространство конечномерно. Конечномерное инвариантное подпространство оператора A, относящееся к некоторой точке λ, принято называть корневым подпространством.

Корневое подпространство может быть охарактеризовано как совокупность элементов f, удовлетворяющих при некотором целом n ≥ 1 уравнению

satib01.wmf

Дискретным сектором, как известно, обладают вполне непрерывные операторы, а также неограниченные (например, дифференциальные) операторы, имеющие вполне непрерывные обратные.

Основной задачей нашей работы является исследование условий, при которых система корневых подпространств оператора A полной в гильбертовым пространстве H или области значения этого оператора. Поясним, что систему корневых подпространств некоторого оператора принято называть полной в гильбертовом пространстве H, если любой элемент f∈H можно с наперед заданной точностью приблизить по норме конечной линейной комбинацией элементов, каждый из которых принадлежит одному из корневых подпространств. Хорошо известно, что если некоторый вполне непрерывный оператор является самосопряженным, то система его конечномерных корневых подпространств полна в области значений оператора (при этом корневые подпространства оказываются собственными).

В случае общего вполне непрерывного оператора полнота может и не иметь места. Простейшим примером такого рода служит оператор интегрирования

satib02.wmf,

который действует в гильбертовом пространстве функций, обладающих интегрируемым по Лебегу квадратом на интервале (a, b). Это пространство мы будем в дальнейшем обозначать через L2(a, b). Этот оператор, во-первых, вполне непрерывный; во-вторых, он обладает лишь единственной точкой спектра и не имеет ни одного собственного вектора. Следовательно, корневое подпространство у него вообще отсутствует.

Более того, существуют вполне непрерывные операторы, которые вообще не имеют собственных значений (конечнократных). Поэтому в несамосопряженном случае вопрос полноты приобретает особый интерес.

В ряде работ М. Отелбаева [4, 5, 6, 7, 8] найдены двусторонние оценки собственных чисел самосопряженных операторов типа Шредингера. Такие результаты имеют ряд преимуществ перед известными классическими формулами распределения собственных чисел: во-первых, для классических формул нужен ряд условий; во-вторых, они не всегда справедливы [9]; в-третьих, не позволяют судить о малых собственных числах. Результаты такого характера впервые появились в работах [6, 7].

Цель работы состоит в получении условия полноты собственных и присоединенных элементов несамосопряженного оператора Шредингера высокого порядка, заданных во всем пространстве.

Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут найти применение в различных вопросах спектральной теории дифференциальных операторов и теории рядов, а также в задачах квантовой механики, приводящих к изучению сингулярных несамосопряженных дифференциальных операторов.

Основные результаты сформулированы в терминах некоторых вспомогательных функций, которые достаточно эффективно строятся из коэффициентов уравнения. Впервые такие функции были введены в работах М. Отелбаева [5, 6].

Пусть L – замыкание в L2(Rn) дифференциального оператора L0, определенного на satib03.wmf равенством

satib04.wmf,

где satib05.wmf – оператор Лапласа, l – положительное целое число, q(x) – ограниченная в каждом компакте комплекснозначная функция, такая, что

satib06.wmf. satib07.wmf. (1)

Введем некоторые необходимые обозначения и определения.

(2, l) – емкость замкнутого множества F относительно открытого множества W⊂Rn, содержащего F, называется число

satib08.wmf,

где satib09a.wmf satib09b.wmf satib10.wmf satib11.wmfsatib12.wmf а infimum берется по всем satib13.wmf, равным единице в окрестности F.

Через Qd(x) будем обозначать куб с центром в точке x, с ребрами d, параллельными координатным осям, а через satib14.wmf – его замыкание, если положение центра куба не важно, вместе Qd(x) и satib15.wmf будем писать Qd и satib16.wmf соответственно. Совокупность всех компактных подмножеств F куба satib17.wmf, удовлетворяющих неравенству

satib18.wmf

обозначим через N2, l, ε(Qd). При 2l > n и достаточно малом ε множество N2, l, ε(Qd) пусто.

Теперь ограниченной в каждом компакте комплекснозначной функции q(x) сопоставим функцию

satib19.wmf (2)

satib20.wmf (3)

satib21.wmf, satib22.wmf.

Основная теорема. Пусть 2l > n и выполнены следующие условия:

1) satib23.wmf при satib24.wmf, где k(y) ≥ δ > 0 – непрерывная функция, стремящаяся к + ∞ при satib25.wmf

2) satib26.wmf;

3) оператор L–1 вполне непрерывен.

Предположим, что

satib27.wmf

и при некотором θ∈(0, + ∞)

satib28.wmf

тогда система корневых векторов оператора L полна в L2(Rn).

Для доказательства этой теоремы в дальнейшем нам потребуются следующие леммы.

Лемма 1. Если x∈Rn, то

satib29.wmf

Для доказательства этой леммы нужно воспользоваться преобразованием подобия. Тогда она сводится к случаю d = 1. В этом случае лемма вытекает из известной леммы о продолжении [8] и из непрерывности вложения satib30.wmf в пространстве непрерывных функций.

Лемма 2. Пусть r(x) – локально интегрируемая в Rn функция. Тогда

satib31.wmf. (4)

Доказательство. Пусть satib32.wmf. Покроем Rn семейством кубов satib33.wmf в соответствии с леммой Безиковича-Гуцмана [10]. Тогда

satib34.wmf

satib35.wmf

satib36.wmf

Здесь через satib37.wmf обозначено подсемейство на, котором достигается указанный supremum.

Далее, пользуясь леммой 2 и известной неравенств (см. [8], лемму 4.3) получаем:

satib38.wmf

satib39.wmf

satib40.wmf,

поскольку кубы satib41.wmf по построению не пересекаются. Поэтому

satib42.wmf

satib43.wmf

Отсюда получаем (4). Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть r(x) локально суммируемая, неотрицательная в Rn функция. Тогда множество

satib44.wmf

относительно компактно по норме

satib45.wmf,

если

satib46.wmf

Доказательство. Как известно, если W – некоторый компакт в Rn достаточно гладкий границей, то множество F относительно компактно в метрике

satib47.wmf

Покроем Rn/F кубами satib48.wmf, центры которых принадлежат этому множеству. Далее, рассуждая, как в лемме 3, получаем

satib49.wmf

satib50.wmf

satib51.wmf

Здесь мы воспользовались принадлежностью и к F. Из условия леммы вытекает, что при satib52.wmf оцениваемый интеграл стремится к нулю, т.е. для любого ε > 0 можно указать такое компактное множество Wε, что

satib53.wmf

Лемма 3 доказана.

Доказательство основной теоремы. Пусть satib54.wmf – оператор, аналогичный L, соответствующий потенциалу Req(x). В силу условия (1) имеем, что satib55.wmf. С другой стороны, из условия основной теоремы оператор satib56.wmf имеет конечный тип. Из леммы 3 и условия доказываемой теоремы получаем, что оператор satib57.wmf вполне непрерывен. Но тогда вполне непрерывен и оператор satib58.wmf, и по теореме М.В. Кельдыша [2] система корневых векторов операторного уравнения

satib59.wmf

полна в L2(Rn). Легко заметить, что система корневых векторов последнего операторного уравнения совпадает с системой корневых векторов оператора L(E + C) или обратного к нему оператора (E + C)–1 L–1.

Теорема доказана.

Доказательство следующей теоремы вытекает из общей теоремы Келдыша-Лидского [9].

Теорема 1. Пусть 4l > n и выполнены условия основной теоремы. Тогда, если

satib60.wmf,

то система корневых векторов оператора L2 полна в L2(Rn).