Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,909

WORK AT CURVILINEAR AND ROTARY MOVEMENT OF PH

Ivanov E.M.

При криволинейном движении тела под действием силы F , направленной по касательной к траектории, кроме обычной работы dA = FdS, работу соверша­ет и центростремительная сила Fn = mV2 / R. При движении тела по окружно­сти работа An = 2FR(sin φ - φ cosφ), где φ - угол поворота. При вращатель­ном движении цилиндра работа центростремительной силы An = 8/9 FR(sin φ - φ cos φ); 0 ≤ φ ≤ π.

At curvilinear movement of a body under action of the force F directed on a tangent to a trajectory, except for usual work dA = FdS , work is made also with centripetal force Fn = mV2 / R. At movement of a body on a circle work An = 2FR(sin φ - φ cosφ), where φ - a corner of turn. At rotary movement of the cylinder work of centripetal force An = 8/9 FR(sin φ - φ cos φ); 0 ≤ φ ≤ π.

Во всех курсах физики для вычисления работы предлагается формула:

dA = FdS cos α     (1)

Из этой формулы следует, что работа равна нулю, если сила не производит перемещение тела или если сила перпендикулярна перемещению S (например, центростремительные силы). Однако автором в работах [1-3] было показано, что центростремительные и гироскопические силы также совершают работу. В тех же курсах физики приводятся примеры, свидетельствующие о том, что центростремительные силы все же совершают работу!

Так, в [4, стр. 257] говорится: «Из того, что при криволинейном движении тело испытывает ускорение, следует, что на него должны действовать силы. Например, грузик, привязанный к нити, может двигаться по окружности только в том случае, если нить тянет его с некоторой силой. Но нить может тянуть грузик только если она деформирована (растянута)». И далее [стр.259]: «При вращении колес, дисков и т.п. возникают деформации того же типа, что и деформации связей, заставляющих тело двигаться по окружности. Именно силы, обусловленные такими деформациями, и сообщают частям вращающегося тела центростремительные ускорения, необходимые для того, чтобы эти части двигались по окружности. Если тела очень жестки, то деформации очень малы и их непосредственное наблюденивенное наблюдени.

Однако эти деформации могут привести к разрушению вращающегося тела: в ряде случаев маховики и другие вращающиеся части машин разрывались при движении. Разрушение было связано обычно с превышением допустимой скорости вращения». Вот и говори после этого, что центростремительные силы не совершают работы!

Если тело массы m под действием силы F движется по криволинейной траектории dS , то кроме обычной («путевой») работы dA = FdS cos α , еще совершается работа центростремительной силы Fn = man = mV2 / R, где V = dS / dt, dS = R • dφ, где R - радиус кривизны элемента dS (рис.1). Элементарная работа центростремительной силы (см. гл.3)

dAn = FndSn          (2)

Т.к. Sn = R(1 - cos φ) , то

dSn = R sin φ dφ          (3)

Рассмотрим, например, разгон тела из неподвижного состояния по дуге окружности радиуса R под действием постоянной силы F , направленной по касательной. Обычная («путевая») работа может быть вычислена по известной формуле

dA = M • dφ               (4)

где M = F • R - момент силы. Поскольку скорость тела определяется выражением V = Rω = Rε t, угловое ускорение ε = F / mR, время t2 = 2φ / ε , то центростремительная сила:

Fn = m / R • (Rε t )2 = 2mRεφ = 2φF  (5)

Элементарная работа центростремительной силы:

dAn = 2 FRφ sin φ dφ                    (6)

Работа

1 (7)

Работу An центростремительной силы Fn и обычную («путевую») работу A для различных углов поворота приведем в Таблице 1.  

Таблица 1. Работа  Aцентростремительной силы  Fn и обычная («путевая») работа  A  для различных углов поворота  

Угол поворота, φ

π/2

π

3π/2

Работа An

2FR

2πFR

2FR (1 + π )

4πFR

«Путевая» работа A

πFR/2

πFR

3πFR/2

2πFR

Поскольку силы F и Fn взаимноперпендикулярны, то работы этих сил аддитивны, т.е. складываются арифметически: AΣ = A + An .

Рассмотрим работу, затрачиваемую на разгон вокруг оси тела вращения (например, цилиндра радиуса R , высотой H, плотность материала цилиндра ρ, масса цилиндра m = πR2 Hρ ). На рис. 2 показано сечение цилиндра и действующая на него вращающая сила F . Обычная («путевая») работа определяется формулой (4).

Элементарная центростремительная сила, действующая на кольцевой элемент толщиной dr, будет равна

8 (8)

Суммарная центростремительная сила, действующая на цилиндр:

9 (9)

Радиус приложения силы Fn равен  R* = 2 R / 3. Тогда в соответствии с выражением (3) получим

10(10)

Элементарная работа центростремительной силы:

11 (11) 

Работа центростремительной силы:

12(12)

Работа An центростремительной силы Fn и обычная («путевая») работа A вращающей силы F для различных углов поворота приведена в Таблице 2.

Таблица 2. Работа  An центростремительной силы  Fи обычная («путевая») работа  A  вращающей
силы  F  для различных углов поворота  

Угол поворота, φ

π/2

π

3π/2

Работа An

8FR /9

8πFR /9

8FR(1 + π )/9

16πFR /9

«Путевая» работа A

πFR/2

πFR

3πFR/2

2πFR

В силу принципа аддитивности суммарная работа на разгон цилиндра находится арифметическим сложением: 

AΣ = A + An

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Иванов Е.М. О работе центростремительных и гироскопических сил. //Вестник ДИТУД, №1, Димитровград, 2003.
  2. Иванов Е.М. Дополнительные главы классической механики. Димитровград: ДИТУД УлГТУ, 2004.
  3. Иванов Е.М. Работа центростремительных и гироскопических сил.//Успехи современного естествознания, №9, 2004.
  4. Элементарный учебник физики. Под ред. Г.С.Ландсберга. Том I. Изд. «Наука», М.,1972.