Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,969

Рассмотрим некоторые модели детерминированных систем с хаотическим поведением обсудим их значения для биологии [1-3]. В экспериментах изучалось движение в слое жидкости в сосуде, который подогревали снизу. При большой разности температур DT между верхним холодным и нижнем горячим слоями жидкости стационарное конвективное движение исчезает и наблюдается переход к хаотическому движению ( неустойчивость Бенара ). Этот процесс моделируется системами автономных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Аналитическое исследование позволяет найти количественные характеристики хаотического движения, которое возникает при изменении внешнего управляющего параметра. Первой математической моделью с хаотическим поведением была система уравнений, предложенная Лоренцем в метеорологии для предсказания погоды.

В основе этой модели лежат представления о связи потоков воздуха в атмосфере с разностью температур ее различных слоев. Можно использовать этот же подход для описания подогреваемой снизу жидкости в эксперименте. Модель Лоренца имеет вид:

f = - s X - s Y

f= r X - Y - X Z           (1)

f= X Y - b Z

где: σ,b - безразмерные константы, r - управляющий параметр, пропорциональный разности температур. Переменная X - количество циркулирующей жидкости, Y - соответствует разности температур между восходящими и нисходящими потоками, Z - пропорциональна отклонению вертикального профиля температуры от равновесного значения.

В этой модели переменные могут проявлять хаотическое поведение при повышении разности температур , когда значение управляющего параметра rc  превышает критическое значение. С ростом r в колебаниях появляются нерегулярные хаотические всплески. В трехмерной модели Лоренца (1) траектория в фазовом пространстве может быть вычислена на ПЭВМ. При этом может быть показан пример такой траектории, полученной при r = 2, σ = 10, b = 8/3. Траектория притягивается к ограниченной области в фазовом пространстве. Малые изменения начальных условий ведут к тому, что новое решение быстро отклоняется от прежнего. Такое поведение системы носит название странного аттрактора. Область аттрактора в фазовом пространстве ограничена, но может иметь сложную структуру. Сам аттрактор образуется из движения одной траектории, которая должна пройти через каждую точку фазового пространства. При этом, первоначально близкие точки аттрактора через большое время удаляются на конечное расстояние. Уравнения Лоренца являются базовой моделью для объяснения хаотического поведения системы при изменении управляющих параметров. Возможность установления хаоса в биологических системах можно рассматривать примером появления хаотических сердцебиений при определенной частоте стимулирующих импульсов.

Динамика популяций в замкнутой среде обладает хаотическими свойствами. Если численность популяции мала и в данный момент времени зависит от ее численности в предыдущие моменты времени, то динамика популяции описывается дискретным способом с помощью логистического уравнения [4] . Численность популяции x после n последовательных поколений меняется в соответствии с разностными уравнениями:

 xn +1 = f r ( xn) = r xn (1 - xn)                (2)

где : n - целое число, f - нелинейная функция.

Функция xn +1 = f ( xn), полученная при итерации x1, x2, ....., xn,,.... демонстрирует сложное поведение. Для f r ( xn) могут наблюдаться разнообразные режимы: Монотонное и колебательное приближение к состоянию равновесия, устойчивые колебания, квазистохастическое поведение (хаос). В уравнении (2) при r < 3 численность популяции стремиться к устойчивому состоянию равновесия. При росте r происходит бифуркация: устойчивое равновесие переходит в устойчивые циклы. Если r превышает критическое значение r > rс = 3.5699..., то происходит хаотизация решения и колебания становятся беспорядочными. Величина rс=3.570 характеризует порог хаотизации системы. Последовательные значения r, при которых число устойчивых периодических точек удваивается и становится равным 2n , меняется в соответствии с выражением:

 rn = rс - const δ -n                  (3)

где : δ = 4.669 ..... 4.670 ( константа Фейгенбаума).

Эта константа имеет универсальный характер, присущий поведению многих экологических природных систем, т.е. происходит удвоение цикла перед наступлением хаоса. Общие закономерности перехода от порядка к хаосу обнаружены на множествах Мандельброта. Рассмотрим простую последовательность комплексных чисел :

 zn+1  = f r( xn ) = zn2 + c                         (4)

где : zn , с - числа и параметр. Уравнение (4) сводится к логистическому (2). Известны примеры множеств ( легочные альвеолы, изрезанные листья ) определенной структуры. Они состоят из хаотически сложенных мелких деталей. При этом эти множества сохраняют в совокупности специфические контуры. Имитация на компьютере сложной фрактальной формы позволяет воспроизвести ее образование по законам хаоса. Хаотическое поведение является отражением закономерностей динамической организации сложных систем. Предложенные модели детерминированного хаоса представляют правила хаотизации. Ясно, что изучение роли хаоса в природе и биологических системах только начинается. Общий результат состоит в том, что поведение детерминированных систем всегда рассматривалось в качестве предсказуемых, однако при определенных параметрах они обнаруживают хаотические свойства.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Рубин А.Б. Биофизика. / M.: из - во «Университет». 1999. Т.1.С.106 - 116.
  2. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. /M.: из - во « Постмаркет». 2001. с.189.
  3. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. /М.: из - во «Мир». 1990.С. 12 - 20.
  4. Смит Дж. М. Модели в экологии./ М.: из - во «Мир». 1976. с. 181.