В работе рассмотрены одноканальные системы массового обслуживания заявок, время жизни которых ограничено случайной величиной. Целью исследования является получение аналитического решения задачи нахождения характеристик функционирования одноканальной системы массового обслуживания с накопителем и случайным ограничением на время жизни заявок для проверки адекватности имитационной модели. Приведены примеры реальных систем со случайным временем жизни заявок, моделируемых как системы массового обслуживания. Описана математическая модель задачи нахождения функции распределения фактического времени ожидания обслуживания для стационарного состояния одноканальной системы обработки простейшего потока заявок, концепция которой разработана Б. В. Гнеденко и И. Н. Коваленко. Приведена разновидность исходной модели для системы обслуживания заявок со случайным ограничением на общее время пребывания и стандартной дисциплиной обслуживания заявок в порядке их поступления. В качестве примера рассмотрена система с простейшим входным потоком требований, экспоненциально распределенным временем обслуживания и равномерно распределенным временем жизни заявок. Для нахождения искомой характеристики построено и решено интегральное уравнение. С помощью полученной функции распределения фактического времени ожидания обслуживания найдены доли заявок, получивших полное и неполное обслуживание, совсем не попавших на обслуживание. Проведено сравнение результатов работы аналитической и имитационной моделей, говорящее о высокой точности последней.
This paper considers single-channel queuing systems with a randomly bounded lifetime. The aim of the study is to obtain an analytical solution to the problem of finding the operating characteristics of a single-channel queuing system with an accumulator and a random constraint on the lifetime of requests in order to verify the adequacy of the simulation model. Examples of real systems with a random lifetime of requests, modeled as queuing systems, are given. A mathematical model is described for the problem of finding the distribution function of the actual waiting time for service for the steady state of a single-channel system for processing a simple request flow, the concept of which was developed by B. V. Gnedenko and I. N. Kovalenko. A variation of the original model is presented for a request servicing system with a random constraint on the total sojourn time and a standard discipline of servicing requests in the order they are received. As an example, a system with a simple input flow of requests, exponentially distributed service time, and uniformly distributed lifetime of requests is considered. To find the desired characteristic, an integral equation is constructed and solved. Using the resulting distribution function of actual service wait times, we determined the proportions of requests that received full and partial service, as well as those that were not serviced at all. A comparison of the results of the analytical and simulation models was conducted, demonstrating the high accuracy of the latter.
1. Лохвицкий В. А., Гончаренко В. А., Левчик Э. С. Модель масштабируемого микросервиса на основе системы массового обслуживания с «охлаждением» // Интеллектуальные технологии на транспорте. 2022. № 1 (29). С. 39–44. DOI: 10.24412/2413-2527-2022-129-39-44. EDN: ZALQRA.
2. Gontis V. Discrete q-Exponential Limit Order Cancellation Time Distribution. // Fractal and Fractional. 2023. № 7 (8). Р. 581. DOI: 10.3390/fractalfract7080581.
3. Маколкина М. А., Шарлаева М. В. Исследование средней задержки в сетях связи, предоставляющих телемедицинские услуги // Труды учебных заведений связи. 2024. Т. 10. № 3. С. 59‒65. DOI: 10.31854/1813-324X-2024-10-3-59-65. EDN: DRRDAM.
4. Jafarnejad Ghomi E., Rahmani A. M., Qader N. N. Applying queue theory for modeling of cloud computing: A systematic review // Concurrency Computat Pract Exper. 2019. № 31. Р. e5186. DOI: 10.1002/cpe.5186.
5. Науменко В. В., Маталыцкий М. А., Монько В. Д. Об имитационном моделировании HM-сетей с некоторыми особенностями // Вестник Гродненского государственного университета имени Янки Купалы. Серия 2. Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление. 2016. Т. 6. № 1. С. 149–156. EDN: VIUTAV.
6. Xiaohu Wu., Francesco De Pellegrini, Giuliano Casale Delay and Price Differentiation in Cloud Computing: A Service Model, Supporting Architectures, and Performance // ACM Trans. Model. Perform. Eval. Comput. Syst. 2023. Vol. 8. Is. 3. Article 6. 40 p. DOI: 10.1145/3592852.
7. Кумков С. И., Игнатенкова Л. А. Интервальный подход к оцениванию стабильности характеристик стандартного образца // Вычислительные технологии. 2017. Т. 22. № 2. С. 85–98. EDN: YPLUFJ.
8. Рыжиков Ю. И. Многоканальные системы обслуживания с марковским нетерпением // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2018): материалы XVII Международной конференции имени А. Ф. Терпугова (г. Томск, 10–15 сентября 2018 г.). Томск: Научно-технической литературы, 2018. С. 125–131. EDN: YMYTJJ.
9. Саати Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Издательство «Советское радио», 1971. 520 с.
10. Коваленко И. Н. Некоторые задачи массового обслуживания с ограничением // Теория вероятностей и ее применение. 1961. Т. 6. № 2. С. 222–228. URL: https://www.mathnet.ru/rus/tvp/v6/i2/p222 (дата обращения: 11.05.2026).
11. Tакасs L. Investigation of waiting – time problems by reduction to Markov processes. Acta Math., Acad. Scient. Hung. 1955. Vol. 6. P. 101–129. URL: https://zbmath.org/0067.10903 (дата обращения: 11.05.2026).
12. Афанасьева Л. Г. О существовании предельного распределения в системах массового обслуживания с ограниченным временем пребывания // Теория вероятностей и ее применения. 1965. Т. 10. № 3. С. 570–578. URL: https://www.mathnet.ru/rus/tvp/v10/i3/p570 (дата обращения: 11.05.2026).
13. Шайдуллина Н. К., Печеный Е. А., Нуриев Н. К. Проблема эффективного администрирования системы массового обслуживания с ограниченным временем жизни заявок // Современные наукоемкие технологии. 2022. № 7. С. 69–73. DOI: 10.17513/snt.39235.
14. Шайдуллина Н. К., Печеный Е. А., Нуриев Н. К. Моделирование процесса администрирования системы массового обслуживания с ограниченным временем жизни заявок // Современные наукоемкие технологии. 2023. № 11. С. 81–86. DOI: 10.17513/snt.39824.
15. Шайдуллина Н. К., Печеный Е. А., Нуриев Н. К. Численный анализ поведения смешанного потока заявок с ограниченным временем жизни // Современные наукоемкие технологии. 2024. № 10. С. 94–99. URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=40177 (дата обращения: 11.05.2026). DOI: 10.17513/snt.40177.
16. Шайдуллина Н. К. Численное решение задачи эффективного обслуживания группы заявок с ограниченным временем жизни // Актуальные проблемы науки и образования в условиях современных вызовов: материалы XXXIX Международной научно-практической конференции (г. Москва, 03 апреля 2025 г.). М.: ООО «Издательство Академическая среда», 2025. С. 408–413. URL: https://www.elibrary.ru/qptmfo (дата обращения: 11.05.2026).