Интерполяция случайных процессов является одним из ключевых математических инструментов, позволяющих решать широкий спектр прикладных задач, в которых создаются более точные, полные математические модели и восстанавливаются данные измерений. Решением задачи интерполяции занимались многие ученые, однако явные интерполяционные формулы в настоящее время известны только для процессов с рациональным спектром. Целью настоящей работы является построение на основе методов спектрального анализа случайных процессов и теории аналитических и целых функций комплексного переменного стохастической модели оптимального оператора интерполяции для L-марковского процесса с квазирациональной спектральной плотностью. С привлечением метода математической индукции и теории разностных уравнений получена формула для спектральной характеристики интерполяции L-марковского процесса, на основе которой выявлена форма его оптимального интерполятора. Показано, что оптимальный линейный оператор интерполирования представляет собой сумму двух несобственных стохастических интегралов и линейной комбинации значений исследуемого процесса и его производных в определенные моменты времени, зависящие от параметров спектральной плотности. Результат, полученный в работе, позволяет детализированно восстанавливать пропущенные данные стохастических процессов с квазирациональным спектром и может быть использован в различных радиотехнических приложениях.
The interpolation of random processes is one of the key mathematical tools that allow us to solve a wide range of applied problems, in which more accurate and complete mathematical models are created and measurement data are restored. Many scientists have studied the problem of interpolation, but explicit interpolation formulas are currently known only for processes with a rational spectrum. The goal of this work is to use the methods of spectral analysis of random processes and the theory of analytic and entire functions of a complex variable to construct a stochastic model of the optimal interpolation operator for an L-Markov process with a quasi-rational spectral density. Using the method of mathematical induction and the theory of difference equations, a formula for the spectral characteristic of the L-Markov process interpolation is derived, on the basis of which the form of its optimal interpolator is revealed. It is shown that the optimal linear interpolation operator is a sum of two improper stochastic integrals and a linear combination of the values of the process under study and its derivatives at certain points in time, depending on the parameters of the spectral density. The result obtained in this work allows for detailed reconstruction of missing data from stochastic processes with a quasi-rational spectrum and can be used in various radio engineering applications.
1. Батырев И. А., Воронцова О. Н. Интерполяция сигнала с помощью CIC-фильтра // Техника радиосвязи. 2018. Вып. 4 (39). С. 41–53.
2. Кокошкин А. В., Коротков В. А., Коротков К. В., Новичихин Е. П. Особенности интерполяции спектрально-ограниченных сигналов // Журнал Радиоэлектроники. 2017. № 6. URL: http://jre.cplire.ru/jre/jun17/6/text.pdf (дата обращения: 1.04.2026).
3. Жирков В. Ф., Сушкова Л. Т., Королев А. И., Большаков К. Н., Обеднин А. А., Прокофьев Г. В. Полиномиальная интерполяция в цифровой обработке сигналов при высоких требованиях к точности // Журнал радиоэлектроники. 2017. № 4. URL: http://jre.cplire.ru/jre/apr17/5/text.pdf (дата обращения: 01.04.2026).
4. Jiang H., Sun D., Jampani V., Yang M.-H., Learned-Miller E., Kautz J. Super SloMo: High Quality Estimation of Multiple Intermediate Frames for Video Interpolation, 2018. URL: https://openaccess.thecvf.com/content_cvpr_2018/papers_backup/Jiang_Super_SloMo_High_CVPR_2018_paper.pdf (дата обращения: 01.04.2026). DOI: 10.1109/CVPR.2018.00938.
5. Немцев Н. С., Гильмутдинов М. Р., Веселов А. И. Применение метода пространственной интерполяции в задаче синтеза промежуточных кадров видеопоследовательности // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2018. Т. 18. № 4. С. 623–629. DOI: 10.17586/2226-1494-2018-18-4-623-629.
6. Вайс С. Н., Липатов А. А., Репина М. В. Использование методов интерполяции при разработке тестовых данных для проверки устройства цифровой обработки радиолокационных сигналов // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2014. № 3. С. 49–52.
7. Ююкин И. В. Интерполяция навигационной функции сплайном лагранжева типа // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. 2020. Т. 12. № 1. С. 57–70. DOI: 10.21821/2309-5180-2020-12-1-57-70.
8. Ромм Я. Е., Джанунц Г. А. Моделирование движения навигационных спутников системы ГЛОНАСС на основе кусочно-интерполяционного решения задачи Коши для дифференциальной системы // Современные наукоемкие технологии. 2023. № 2. С. 88–101. URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=39529 (дата обращения: 01.04.2026). DOI: 10.17513/snt.39529.
9. Твердохлебов В. А. Методы интерполяции в техническом диагностировании // Проблемы управления. 2007. № 2. С. 28–34.
10. Yaglom A. M. An Introduction to the Theory of Stationary Random Functions / Revised English edition translated and edited by Richard A. Silverman. Mineola, New York, 2004. 235 p.
11. Розанов Ю. А. Марковские случайные поля. М.: Наука, 1981. 256 с.
12. Фадеева Л. Ю. Построение стохастической модели линейного экстраполятора для L-марковского фрактального процесса // Вестник Поволжского государственного технологического университета. Серия: Радиотехнические и инфокоммуникационные системы. 2025. № 1 (65). С. 46–54. DOI: 10.25686/2306-2819.2025.1.46.
13. Титов А. Н., Фадеева Л. Ю. Расчет числовых значений функционала – экстраполятора фрактального L-марковского процесса с квазирациональной спектральной плотностью // Инженерный вестник Дона. 2026. № 3. URL: http://www.ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2026/10794 (дата обращения: 01.04.2026).
14. Фадеева Л. Ю., Титов А. Н. Построение математической модели и расчет численных значений оператора фильтрации с запаздыванием для L-марковского процесса // Инженерный вестник Дона. 2025. № 10. URL: http://www.ivdon.ru/ru/magazine/archive/n10y2025/10462 (дата обращения: 01.04.2026).
15. Титов А. Н., Фадеева Л. Ю. Алгоритм реализации оптимального оператора фильтрации с прогнозом по его синтезированной математической модели для L-марковского процесса с квазирациональным спектром // Инженерный вестник Дона. 2025. № 10. URL: http://www.ivdon.ru/ru/magazine/archive/n10y2025/10463 (дата обращения: 01.04.2026).