Важной научной проблемой является разработка новых методов получения высокоточных аналитических решений сложных краевых задач математической физики, отличающихся универсальностью, простотой реализации и удобством для использования в инженерных приложениях. Целью работы является разработка метода получения аналитического решения высокой точности применительно к решению нестационарной задачи теплопроводности для керамической стенки жидкометаллического реактора пиролиза метана при несимметричных граничных условиях третьего рода. Искомое решение представляется в виде суммы двух функций, представляющих частное решение стационарной задачи с неоднородными граничными условиями и общее решение нестационарной задачи с однородными граничными условиями. С целью упрощения процесса получения решения нестационарной задачи используются дополнительные граничные условия, выполняемые в одной из граничных точек рассматриваемой области, что приводит к выполнению уравнения Штурма – Лиувилля и во всей области без необходимости его интегрирования по пространственной переменной. Собственные числа, определяемые из решения краевой задачи Штурма – Лиувилля, практически совпадают с точными их значениями. Приводится доказательство теоремы, подтверждающей выполнение уравнения во всей рассматриваемой области при его граничном выполнении. Найденное решение применено для расчета температуры керамической стенки жидкометаллического реактора пиролиза метана. Анализ результатов позволяет заключить, что на начальном участке времени прогрева реактора перепад температуры в стенке достигает величин, вызывающих термические напряжения, превышающие предел прочности для данного материала.
An important scientific problem is the development of new methods for obtaining high-accuracy analytical solutions to complex boundary value problems in mathematical physics, characterized by their universality, implementation simplicity, and convenience for engineering applications. The objective of this study is to develop a method for obtaining a high-accuracy analytical solution for a non-stationary heat conduction problem pertaining to the ceramic wall of a liquid-metal methane pyrolysis reactor under asymmetric third-kind boundary conditions. The sought solution is expressed as the sum of two functions: a particular solution to the steady-state problem with non-homogeneous boundary conditions and a general solution to the non-stationary problem with homogeneous boundary conditions. To simplify the solution process for the non-stationary problem, additional boundary conditions satisfied at one of the boundary points of the domain are employed, leading to the satisfaction of the Sturm – Liouville equation throughout the entire domain without the need for integration over the spatial variable. The eigenvalues derived from the solution of the Sturm – Liouville boundary value problem are in close agreement with their exact values. A theorem is proved confirming that satisfaction of the equation at the boundary implies its satisfaction throughout the entire domain under consideration. The obtained solution was applied to calculate the temperature of the ceramic wall in a liquid-metal methane pyrolysis reactor. Analysis of the results reveals that during the initial heating phase of the reactor, the temperature differential across the wall reaches magnitudes that induce thermal stresses exceeding the ultimate strength limit of the material.
1. Формалев В. Ф. Теплопроводность анизотропных тел. Аналитические методы решения задач. М.: Физматлит, 2014. 309 с. [Электронный ресурс]. URL: https://search.rsl.ru/ru/record/01007869209 (дата обращения: 24.04.2026). ISBN 978-5-9221-1579-7.
2. Формалев В. Ф. Теплоперенос в анизотропных твердых телах. Численные методы, тепловые волны, обратные задачи. М.: Физматлит, 2015. 280 с. [Электронный ресурс]. URL: https://www.rfbr.ru/library/books/2171/ (дата обращения: 24.04.2026). ISBN 978-5-9221-1624-4.
3. Кудинов В. А., Стефанюк Е. В., Назаренко С. А. Метод координатных функций в несимметричных задачах теплопроводности для многослойных конструкций // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2003. Вып. 19. С. 12–15. URL: https://www.mathnet.ru/links/40aacc00a0c0709394988fd985edc306/vsgtu132.pdf (дата обращения: 02.03.2026). DOI: 10.14498/vsgtu132.
4. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000. 220 с. [Электронный ресурс]. URL: https://search.rsl.ru/ru/record/01000670276 (дата обращения: 25.02.2026). ISBN 5-02-031622-9.
5. Кудинов И. В., Котова Е. В., Кудинов В. А. Метод получения аналитических решений краевых задач на основе определения дополнительных граничных условий и дополнительных искомых функций // Сибирский журнал вычислительной математики. Новосибирск. 2019. Т. 22. № 2. С. 153–165. URL: https://www.mathnet.ru/rus/sjvm/v22/i2/p153 (дата обращения: 25.02.2026). DOI: 10.15372/SJNM20190203.
6. Pashchenko D., Eremin A. Heat flow inside a catalyst particle for steam methane reforming: CFD-modeling and analytical solution // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2021. Т. 165. С. 120617. URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0017931020335535 (дата обращения: 28.02.2026). DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2020.120617.
7. Карташов Э. М. Оригиналы операционных изображений для обобщенных задач нестационарной теплопроводности // Тонкие химические технологии. 2019. Т. 14. № 4. С. 77–86. URL: https://www.finechem-mirea.ru/jour/article/viewFile/1287/1329.pdf (дата обращения: 24.04.2026).
8. Трубицын К. В. Метод дополнительных граничных условий в краевых задачах теплопроводности. Математическое моделирование и численные методы. 2025. № 2. С. 68–81. URL: https://mmcm.bmstu.ru/articles/375/ (дата обращения: 03.03.2026). DOI: 10.18698/2309-3684-2025-2-6881.
9. Eremin A. V., Krasnova N. P. One Method of Heat Transfer Process Mathematical Modeling in Solids // 2019 International Multi-Conference on Industrial Engineering and Modern Technologies (FarEastCon). IEEE, 2019. Р. 1–5. URL: https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8933826 (дата обращения: 03.03.2026). DOI: 10.1109/FarEastCon.2019.8933826.
10. Sobolev S. L. Discrete space-time model for heat conduction: Application to size-dependent thermal conductivity in nano-films // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2017. Т. 108. С. 933–939. URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0017931016334573 (дата обращения: 28.02.2026). DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2016.12.051.
11. Sobolev S. L. On hyperbolic heat-mass transfer equation // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2018. Т. 122. С. 629–630. URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0017931017353759 (дата обращения: 28.02.2026). DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2018.02.022.
12. Карелин В. А., Саломатов В. В. Построение приближенных аналитических решений для модели переноса тепла в слое льда при СВЧ-облучении // Теплофизика и аэромеханика. 2023. Т. 30. № 6. С. 1189–1196. URL: https://www.sibran.ru/upload/iblock/a7f/a7fb33b6c59497a68ac8155fd2878d04.pdf (дата обращения: 25.02.2026).
13. Полянин А. Д., Сорокин В. Г., Вязьмин А. В. Точные решения и качественные особенности нелинейных гиперболических реакционно-диффузионных уравнений с запаздыванием // Теоретические основы химической технологии. 2015. Т. 49. № 5. С. 527–541. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=24045239 (дата обращения: 26.04.2026).
14. Григорьев Л. Я., Маньковский О. Н. Инженерные задачи нестационарного теплообмена. Л.: Энергия, 1968. 84 с. URL: https://search.rsl.ru/ru/record/01006095176 (дата обращения: 25.02.2026).
15. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с. [Электронный ресурс]. URL: https://books.totalarch.com/theory_of_elasticity_tymoshenko (дата обращения: 25.02.2026).