Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

PROBLEM OF SELF-OSCILLATING MODES SWITCHING IN NONLINEAR CONTROL SYSTEMS

Polyanina A.S. 1
1 National Research Moscow State Construction University
One of the applied problems of the dynamics of processes under consideration is the formation of limit cycles of the given geometry. A typical classification of oscillatory processes of various nature by a connected system of oscillators with a certain type of nonlinearity is determined. The article discusses the problem of controlling the motion of the system in the ring region. Qualitative behavior of oscillatory processes, both in the region itself and in its vicinity, has been investigated. The approach to solving the problem is based on constructing a feedback control, due to which the boundaries of the layer will be invariant, and an attractive self-oscillating mode is formed in the phase space of the system. In this case in phase space localization of motions in limited regions of the state space and attraction of motions to the boundaries of this set are observed. High order nonlinearities are included in the control structure. Conclusions on stability of oscillatory processes in vicinity of ring region boundaries are obtained. The mechanism of stability exchange between invariant boundaries has been investigated, which corresponds to the switching of self-oscillatory modes and makes it possible to regulate the amplitude of the steady-state oscillatory process. The research results are confirmed by numerical modeling. The output of the integral curve to the mode of stable self-oscillations with the parameters of the internal, external limit cycle is illustrated.
invariance
stability
limit cycle
self-oscillations
control

Исследование колебаний в кольцевых областях является достаточно сложной задачей теории нелинейных колебаний [1]. В статье рассматривается принцип переключения автоколебательных режимов, основанный на синтезе инвариантных многообразий [2]. Инвариантность многообразия означает, что траектории, начинающиеся на этом многообразии, остаются на нем при missing image file. Если многообразие гладкой системы – замкнутое и компактное, то траектории системы неограниченно продолжаемы на нем [3]. Из существования и единственности решения задачи Коши следует, что траектории системы, начинающиеся вне инвариантного многообразия, не могут его пересекать при missing image file. Следовательно, если многообразие является границей некоторой области, то траектории системы, начинающиеся внутри этой области, будут оставаться в ней при missing image file.

Автоколебания являются следствием собственных внутренних свойств системы. При этом амплитуда и частота колебаний не будут зависеть от начальных условий процесса. Автоколебания возникают только при наличии нелинейности. Возбуждение автоколебательного режима означает формирование устойчивого предельного цикла в пространстве состояний системы.

С изменением некоторых основных параметров нелинейной системы могут происходить бифуркации, вызывающие перестройку фазовых траекторий.

В статье [4] исследован механизм бифуркации на примере ритмов Ламэ. Одной из прикладных задач динамики биологических ритмов является управление геометрией профиля ритма, что, в частности, связано с управлением амплитудами процессов Ламэ [2]. Типовая классификация ритмов определяется связной системой осцилляторов с определенным типом доминирующей нелинейности. Рассматривается задача построения многосвязной системы, передача управляемых сигналов в которой осуществляется по 2n-каналам. Решение задачи приводит к определению слоев, ограниченных замкнутыми инвариантными многообразиями.

В результате бифуркации ритм Ламэ переключается с одного автоколебательного режима на другой. Это соответствует изменению свойства устойчивости предельных циклов.

В работе [5] получена зависимость между отношением площадей областей, ограниченных предельными циклами соответствующих подсистем, и амплитудами управляемой системы.

В данной работе в структуру управляющих функций вводятся нелинейности более высокого порядка. Это позволяет существенно увеличить гибкость управления с целью изменения размеров области, ограниченной устойчивым предельным циклом, в отношении регулирования характеристик установившегося колебательного процесса.

Постановка задачи

Рассмотрим вложенные в R2n гладкие многообразия: missing image file, взаимное расположение которых в пространстве определим как

missing image file, (1)

где missing image file Границы областей missing image file зададим уравнениями

missing image file

Для выполнения условия (1) достаточно, чтобы missing image file missing image file Нижняя и верхняя границы каждой кольцевой области являются нечетно-мерными многообразиями, гомеоморфными сферам.

Рассмотрим задачу синтеза автоколебаний на слое missing image file, missing image file при missing image file:

missing image file

где missing image file – вектор состояния пространства системы управления; missing image file – внутренние функции управления; missing image file – обменные функции управления, missing image file.

Решение задачи стабилизации колебаний на слое сводится к получению условий инвариантности, асимптотической устойчивости верхней или нижней границы кольцевой области в фазовом пространстве системы [6]. При m = 1 управлять размерами областей можно с помощью регулирования соответствующих амплитуд колебательных подсистем. При m > 1 в качестве управляющих параметров во многих задачах следует рассматривать соотношения площадей внутренних областей, ограниченных инвариантными кривыми.

Параметры управления и стабилизация колебаний в кольце

Структуру управлений определим следующим образом:

1) внутрисистемное управление первой подсистемы

missing image file

2) внутрисистемное управление второй подсистемы

missing image file

3) внутрисистемное управление i-той подсистемы, i = 1, 2

missing image file

4) межсистемное управление

missing image file

missing image file

Рассмотрим функцию missing image file. Данная функция знакопостоянна, как на множестве, примыкающем к ее поверхности уровня изнутри, так и в некотором δ-слое, прилегающем к границе извне. Запишем условия инвариантности для границ слоя:

missing image file.

Равенство выполняется тогда и только тогда, когда вектор X принадлежит поверхности missing image file. Условие инвариантности будет выполняться только для одной из поверхностей уровня функции F(X). Выполним подстановку и необходимые преобразования. Условия на параметры управлений примут вид:

- для внутрисистемного управления первой подсистемы

missing image file

- для внутрисистемного управления второй подсистемы

missing image file

- для внутрисистемного управления i-той подсистемы, i = 1, 2

missing image file

- для межсистемного управления

missing image file,

missing image file

missing image file missing image file,

missing image file при условии, что missing image file,

missing image file.

При этих параметрах управляющих функций границы missing image file, j = 4, кольцевой области инвариантны для траекторий, с начальными условиями, определенными на множествах

missing image file

и missing image file соответственно.

Стабилизирующие управления с требуемыми свойствами могут быть реализованы в нескольких случаях, связанных между собой переключением автоколебательных режимов с помощью смены знака перед параметрами управления [4].

Исследуем поведение системы (2) на следующих областях:

missing image file, missing image file

где j = 1, 2, 3,

missing image file

Рис. 1. Знакоопределенность полной производной функции F(X)

missing image file

1. Для траекторий системы, начинающихся внутри области missing image file, полная производная будет определенно положительной в области missing image file и определенно отрицательной на множестве missing image file (рис. 1). Следовательно, траектории системы, начинающиеся внутри множества missing image file, притягиваются к границе missing image file. В силу инвариантности поверхности missing image file далее траектории ее не пересекают, оставаясь внутри области, ограниченной missing image file. Траектории скручиваются от границы missing image file к missing image file и вовнутрь слоя с притяжением к границе missing image file.

Траектории системы, начинающиеся внутри множества missing image file, притягиваются к границе missing image file и скручиваются от границы missing image file в missing image file.

2. Определим поведение полной производной функции на движения системы (2) после изменения знака перед коэффициентами функций управления. В этом случае полная производная будет отрицательной на множестве missing image file и положительной в области missing image filemissing image file. Таким образом, траектории системы, начинающиеся внутри множества missing image file, стягиваются в начало координат. Траектории системы, начинающиеся внутри множества missing image file, притягиваются к границе missing image file и скручиваются от границы missing image file в missing image file

Траектории системы, начинающиеся внутри множества missing image file, скручиваются от границы missing image file и притягиваются к границе missing image file в missing image file.

Во внутренней и внешней δ – окрестности missing image file поверхности missing image file, missing image file нет ω и α – предельных точек, как и на самой поверхности, нет α – предельных точек. Согласно теореме В.И. Зубова об асимптотической устойчивости инвариантных множеств с учетом описанного поведения траекторий можно сделать вывод, что множество missing image file является областью притяжения для missing image file.

Численное моделирование. Переключение режимов автоколебаний

Геометрически в R2 слой определяют концентрически расположенные предельные циклы. Внутренним предельным циклом является граница missing image file, внешним – missing image file, i = 1, 2, 3. В одном случае интегральные трубки описывают выход на режим устойчивых автоколебаний с параметрами предельных циклов missing image file, missing image file, в другом случае – с параметрами циклов missing image file, missing image file. На рис. 2 интегральная кривая скручивается с трубки внешнего предельного цикла missing image file к трубке внутреннего предельного цикла missing image file. На рис. 3 наблюдается переключение режимов автоколебаний, в результате которого внутренний предельный цикл missing image file становится неустойчивым. Интегральная кривая скручивается от границы missing image file и притягивается к поверхности missing image file. Внешний предельный цикл missing image file приобретет устойчивость (рис. 4).

missing image file missing image file

Рис. 2. Устойчивая внутренняя граница слоя

missing image file missing image file

Рис. 3. Потеря устойчивости внутренней границей слоя

missing image file missing image file

Рис. 4. Устойчивая внешняя граница слоя

Заключение

Полученные в работе системы управления со стабилизацией на слое могут быть использованы в задачах биомедицинских технологий, при решении задач управляемого движения шагающих машин. Принцип переключения между устойчивыми режимами позволит варьировать размеры области стабилизации, определять характеристики колебаний.