Определение. Линейно упорядоченный правый унитарный модуль назовём Y-простым, если в нем нет нетривиальных выпуклых подмодулей.
Теорема 1. Линейно упорядоченный правый R-модуль М тогда и только тогда будет Y-простым, если для любой пары a, b строго положительных элементов модуля можно указать такой строго положительный элемент α ∈ R, что aα > b.
Этот результат позволяет установить следующая теорема.
Теорема 2. Если а – строго положительный элемент линейно упорядоченного правого R-модуля М, то множество К, состоящее из всех таких элементов Х, что при некотором строго положительном a ∈ R будет минимально-выпуклым подмодулем, содержащим а.
Действительно, пусть –aβ ≤ x ≤ aβ и –aγ ≤ x ≤ aγ при некоторых строго положительных β, γ ∈ R .
Следовательно, –a(β + γ) ≤ x – y ≤ a(β + γ), то есть x – y ∈ K. Предположим, что если δ – строго положительный элемент из R и –aβ ≤ x ≤ aβ, то –aβδ ≤ xδ ≤ aβδ, то есть xδ ∈ K (что и требовалось доказать).
Теорема 3. Если линейно упорядоченный правый R-модуль М является Y-простым, то для всякой пары строго положительных элементов α, β ∈ R существует строго положительный элемент γ ∈ R, такой что αγ > .
Доказательство основывается на следующем предположении: пусть α и β – строго положительные элементы из R. Если а – строго положительный элемент, причем a ∈ M, то аα и aβ ∈ M. В силу Y-простоты модуля для aα и aβ по теореме 1 найдется такое строго положительное γ ∈ R, что (aα)γ = a(αγ) > αβ. Следовательно, αγ > β, то есть элемент, о коором говорится в теореме существует.
Теорема 4. Линейно упорядоченное кольцо R не содержит выпуклых правых идеалов тогда и только тогда, если для всякой пары строго положительных элементов α, β ∈ R существует строго положительный элемент γ ∈ R такой, что αγ > β (1).
Действительно, пусть в кольце R выполнено условие (1). Рассмотрим это кольцо над самим собой как правый модуль. Как известно, в таком случае его подмодулями служат правые идеалы кольца [1]. На основании теоремы 1 этот модуль будет Y-простым, то есть по определению не содержит нетривиальных выпуклых подмодулей, а следовательно кольцо R не содержит выпуклых правых идеалов, отличных от 0 и R. Обратно, пусть кольцо не содержит нетривиальных выпуклых правых идеалов. Тогда рассматриваемый над самим собой как модуль он не содержит нетривиальных выпуклых подмодулей, то есть является модулем Y-простым, а по теореме 3 в кольце R выполняется условие (1).
Следствие. Y-простые линейно упорядоченные правые модули могут быть только над кольцами, лишенными нетривиальных выпуклых правых идеалов.
Необходимо отметить, что теоремы, аналогичные теоремам 3 и 4, имеют место и в том случае, если вместо правых Y-простых модулей и правых выпуклых идеалов кольца рассматриваются левые Y-простые модули и левые выпуклые идеалы кольца.
Теорема 5. Пусть М линейно упорядоченный правый унитарный Y-простой модуль над архимедовым кольцом R, R не аннулирует модуль. Тогда R Y-изоморфно подкольцу R поля действительных чисел D и M Y-изоморфен аддитивной группе действительных чисел рассматриваемой как модуль над R.
Доказательство. На основании теоремы Пикерта-Хиона кольцо R Y-изоморфно однозначно определенному подкольцу поля действительных чисел, взятому естественной упорядоченностью. Таким образом, можно считать, что R вложено в D [2; 3]. Покажем, что М не имеет собственных выпуклых подгрупп. Пусть С не нулевая подгруппа М. Возьмем 0 < c ∈ C и 0 < a ∈ M. По теореме 1 существует положительный элемент α ∈ R такой, что 0 < a ∈ cα, но т.к. R обладает 1 ≠ 0 и R ≤ D, то всякое натуральное число содержится в R, и, следовательно, существует такое натуральное n ∈ R, что α < n. Имеем 0 < α < cd < cn ∈ C. Таким образом, С = М, поэтому существует Y-изоморфизм группы (М, +) в группу (D, +). Следовательно, можно считать, что группа (М, +) является аддитивной подгруппой группы действительных чисел. Однако умножение элементов кольца операторов на элементы группы (М. +) может, вообще говоря, не совпадать с обычным умножением действительных чисел и, в отличие от последнего, мы будем обозначать его через a⋅α. Рассмотрим отображение a → a⋅α, (a ∈ M, α ∈ R) M в себя. Оно будет Y-изоморфизмом при строго положительном α. Следует отметить, что если идеал J кольца R аннулирует элементы модуля, то он является выпуклым. Поскольку в кольце операторов R нет нетривиальных выпуклых идеалов, а также ввиду того, что R не аннулирует модуль, для каждого α > 0 существует такое действительное число rα > 0, что aφ2 = a⋅α = arα для всех a ∈ M, следовательно,
a⋅(α + β) = a⋅α + a⋅β = arα + arβ = a(rα + rβ),
то есть
aφα+β = a(rα + rβ); rα+β = rα + rβ;
aφαβ = a(φα)φβ = a(rαrβ),
то есть rαβ = rαrβ, тогда отображение α → rα будет кольцевым Y-изоморфизмом R на подкольцо поля действительных чисел. Из архимедовости кольца операторов R φ является тождественным Y-автоморфизмом [4], то есть α → rα, откуда следует, что a⋅α = aα, что и требовалось доказать.