В школах РФ действуют учебники по математике (5 кл.), где число нуль не считается натуральным числом, а последствия такого утверждения устраняются дополнительными пояснениями: при отсутствии какогонибудь разряда в записи многозначного числа пишется число нуль. Или же в литературе для старших классов говорится: ряд натуральных чисел расширяется присоединением к нему числа нуль. В дальнейшем число нуль считается целым, рациональным, действительным, комплексным числом.
Другими словами, возникает вопрос: почему число нуль, относясь к целым числам, не является натуральным. По какой причине? Почему число 1 натуральное, а число 0 не натуральное?
Вникнем в сущность понятия «натуральное число». Число 1 свидетельствует о наличии одного элемента в множестве независимо от его реального содержания (человек, птица, яблоко и т.д.). Число 0 свидетельствует об отсутствии какогонибудь элемента в том или ином множестве. И число 1, и число 0 характеризуют то, что имеется 1 элемент или же отсутствует такой элемент в рассматриваемом множестве. В этом смысле эти числа являются «продуктами» одного и того же рода мышления, одного вида рассуждений.
Слово «натура» [4. С. 397] поясняется, как: «1) то же, что и природа; 2) то, что существует в действительности, настоящее». Следовательно, и число 1, и число 0 характеризуют данное множество наличием или отсутствием в нём элементов. В этом смысле они являются натуральными числами, они свидетельствуют о том, какое количество вещей имеется (или не имеется).
В словаре [2. С. 256] разъясняется понятие «конечное множество» - пустое множество, а также всякое множество, равномощное с множеством всяких целых положительных чисел, не превосходящих какогонибудь целого положительного числа».
В математической энциклопедии [3. Т. 2, С. 723] поясняется понятие «кардинальное число» - трансфинитное число, мощность множества по Г. Кантору, кардинал множества А, такое свойство этого множества, которое присуще любому множеству В, равномощному множеству А. Там же, на странице 837 слово мощность поясняется как кардинальное число, а слова «натуральное число» поясняется как кардинальное число [3. Т. 3, С. 892], исключая при этом пустое множество. Здесь мы видим, что имеется некоторое противоречие: мощность множества - кардинальное число, или же кардинальное число - мощность множества, мощность конечного множества - это натуральное число, а пустое множество относится к конечным. Такое противоречие устраняется в логическом словаре [2. С.375]: «Индуктивно натуральное число определяется следующим образом:
1. 0 является натуральным числом.
2. Если п - натуральное число, то и n´ -натуральное число(n=n+1).
3. Никаких натуральных чисел, кроме тех, которые получаются согласно 1 и 2, нет.
4. Для любого натурального числа n существует п´≠0».
Г.В. Дорофеев пишет [1. С. 6769]: «...в рамках теоретикомножественного подхода утверждение, что «0 не является натуральным числом», неверно, а «расширение» множества натуральных чисел с помощью нуля некорректно». Свое мнение по этому вопросу он завершает фразой: «Трактовка нуля как натуральное число одновременно и удобна для математики, и естественно «склеивает» два основных подхода к понятию натурального числа. Кроме того, учащимся согласиться с этим пониманием числа 0 значительно проще, чем многим учителям, уже привыкшим к такому толкованию этого понятия».
Х.Ш. Шихалиев (автор данной статьи), занимающийся вопросом совершенствования содержания и методов обучения математике в общеобразовательной школе (511 классы), начиная с 70х годов прошлого века, и разработавший всю линию обучения математике на теоретикомножественной основе, утверждает не только целесообразность реализации двух подходов к изучения числа в школе, но и необходимость сближения учения о числе в школе к его научной трактовке.
С точки зрения диалектики возникновения и развития понятий «количественная и порядковая теории числа не являются различными, независимыми друг от друга аспектами, а представляют две стороны единого эволюционного процесса развития этого понятия. Каждая из этих теорий разъясняет и дополняет содержание понятия, раскрывая его суть шире, полнее и яснее. Натуральное число появляется как мощность конечного множества, а множество натуральных чисел в целом характеризуется и кристаллизуется как единое целое с помощью теории порядкового числа. Когда теория порядкового числа не в состоянии развить учение о числе дальше, мы общаемся к теории кардинального числа для сравнения различных бесконечных множеств по их мощностям» [6. С. 5354].
Это единство обеих теорий обосновывается в книге И. К. Андронова и А. К. Окунева «Арифметика рациональных чисел». О единстве теорий кардинального и порядкового числа можно найти и у Д. Гильберта. Общность обеих теорий заключается в том, что, с одной стороны, ни одна теория в отдельности не в состоянии раскрыть и развить понятие натурального числа полностью и в совершенстве. С другой стороны, их чередование в обосновании и развитии этого понятия полностью раскрывает инвариантность одной теории с инвариантностью другой, то есть понятие мощности становится результатом счёта и наоборот. По утверждению Фройденталя Г., различие заключается лишь в историческом плане, то есть в том, что «количественное число - совершенно примитивное понятие, которое в развитии человечества было вскоре заменено более тонким»[5. С. 116].
Таким образом, понятия «натуральное число» и «множество натуральных чисел» становятся понятными и логически завершенными только в совместном рассмотрении кардинального и порядкового подходов к ним, а не в раздельном их изучении. Первая теория поясняет содержательную сторону понятия числа, оперируя конкретными множествами, вторая теория усовершенствует математическую сторону понятия, отвлекаясь от его содержательной стороны, возвышая это понятие на новую ступень абстракции. Затем снова возвращается к теории кардинального числа, разъясняя содержательную сторону трансфинитных чисел. В таком подходе к этому понятию чётко видно философское разъяснение природы развития понятий. Такая позиция придерживается многими учеными и педагогами, в частности А.П. Менчинской.
Разработанные учебноэкспериментальные материалы [7, 8, 9, 10] и прошедшие апробацию неоднократно в VXI классах не продвигаются за пределами региона, ссылаясь на то, что МОиН РФ запретило заниматься по учебным пособиям, не имеющим их гриф. Нашим пособиям ранее такой гриф не давали по причине, что их содержание выходит за пределы имеющихся стандартов. Теперь «Новое поколение стандартов образования» стало ближе к нашим позициям. Можно надеяться на то, что наши пособия станут доступными для массового учителя математики. Более того, вопрос о числе нуль возник изза того, что учащийся, считавший запись: 0eN- истинным высказыванием, получил низкий балл, а другой учащийся, считавший эту запись ложным высказыванием, получил на балл выше. Выходит, что быть ближе к науке иногда вредно.
Список литературы
1. Дорофеев Г.В. Математика для каждого. М.: АЯКС, 1999. - 390 с.
2. Кондаков Н.И. Логический словарь. Справочник. М.: Наука, 1976. - 717 с.
3. Математическая энциклопедия. М.: Сов.энциклопедия, 1979.
4. Ожегов СИ., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка. М.: РАН, 2009. - 940 с.
5. Фройденталь Г. Математика как педагогическая наука. 4.1.- М.: Просвещ., 1982, 208 с.
6. Шихалиев Х.Ш. Об альтернативном подходе к разработке школьных курсов математики. Махачакала: ДГПУ, 2010. - 196 с.
7. Шихалиев Х.Ш. Математика 56. Учебное пособие. -Махачкала: ДГПУ, 1997. - 246 с.
8. Шихалиев Х.Ш., Алиев Р.Г. Математика 1011. Пробное учебное пособие. - Махачкала: Лотос, 2007. - 160 с.
9. Шихалиев Х.Ш. Алгебра 79. Учебное пособие. - Махачкала: Лотос, 2007. - 256 с.
10. Шихалиев Х.Ш. Геометрия на плоскости 59. Учебное пособие. Махачкала: ДГПУ,1997. - 344 с.