Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,021

В школах РФ действуют учебники по ма­тематике (5 кл.), где число нуль не считает­ся натуральным числом, а последствия такого утверждения устраняются дополнительными по­яснениями: при отсутствии какогонибудь раз­ряда в записи многозначного числа пишется число нуль. Или же в литературе для старших клас­сов говорится: ряд натуральных чисел расширя­ется присоединением к нему числа нуль. В даль­нейшем число нуль считается целым, рациональ­ным, действительным, комплексным числом.

Другими словами, возникает вопрос: поче­му число нуль, относясь к целым числам, не яв­ляется натуральным. По какой причине? Почему число 1 натуральное, а число 0 не натуральное?

Вникнем в сущность понятия «натураль­ное число». Число 1 свидетельствует о наличии одного элемента в множестве независимо от его реального содержания (человек, птица, яблоко и т.д.). Число 0 свидетельствует об отсутствии какогонибудь элемента в том или ином множестве. И число 1, и число 0 характеризуют то, что имеется 1 элемент или же отсутствует такой элемент в рассматриваемом множестве. В этом смысле эти числа являются «продуктами» одно­го и того же рода мышления, одного вида рассу­ждений.

Слово «натура» [4. С. 397] поясняется, как: «1) то же, что и природа; 2) то, что существует в действительности, настоящее». Следовательно, и число 1, и число 0 характеризуют данное мно­жество наличием или отсутствием в нём элемен­тов. В этом смысле они являются натуральными числами, они свидетельствуют о том, какое коли­чество вещей имеется (или не имеется).

В словаре [2. С. 256] разъясняется поня­тие «конечное множество» - пустое множе­ство, а также всякое множество, равномощное с множеством всяких целых положительных чи­сел, не превосходящих какогонибудь целого по­ложительного числа».

В математической энциклопедии [3. Т. 2, С. 723] поясняется понятие «кардинальное чис­ло» - трансфинитное число, мощность множе­ства по Г. Кантору, кардинал множества А, такое свойство этого множества, которое присуще лю­бому множеству В, равномощному множеству А. Там же, на странице 837 слово мощность по­ясняется как кардинальное число, а слова «на­туральное число» поясняется как кардиналь­ное число [3. Т. 3, С. 892], исключая при этом пустое множество. Здесь мы видим, что имеет­ся некоторое противоречие: мощность множе­ства - кардинальное число, или же кардиналь­ное число - мощность множества, мощность конечного множества - это натуральное число, а пустое множество относится к конечным. Та­кое противоречие устраняется в логическом сло­варе [2. С.375]: «Индуктивно натуральное число определяется следующим образом:

1. 0 является натуральным числом.

2. Если п - натуральное число, то и n´ -натуральное число(n=n+1).

3.    Никаких натуральных чисел, кроме тех, которые получаются согласно 1 и 2, нет.

4. Для любого натурального числа n существует п´≠0».

Г.В. Дорофеев пишет [1. С. 6769]: «...в рамках теоретикомножественного подхода ут­верждение, что «0 не является натуральным чис­лом», неверно, а «расширение» множества нату­ральных чисел с помощью нуля некорректно». Свое мнение по этому вопросу он завершает фразой: «Трактовка нуля как натуральное число одновременно и удобна для математики, и есте­ственно «склеивает» два основных подхода к по­нятию натурального числа. Кроме того, учащим­ся согласиться с этим пониманием числа 0 зна­чительно проще, чем многим учителям, уже при­выкшим к такому толкованию этого понятия».

Х.Ш. Шихалиев (автор данной ста­тьи), занимающийся вопросом совершенство­вания содержания и методов обучения матема­тике в общеобразовательной школе (511 клас­сы), начиная с 70х годов прошлого века, и раз­работавший всю линию обучения математике на теоретикомножественной основе, утвержда­ет не только целесообразность реализации двух подходов к изучения числа в школе, но и необходимость сближения учения о числе в школе к его научной трактовке.

С точки зрения диалектики возникнове­ния и развития понятий «количественная и по­рядковая теории числа не являются различны­ми, независимыми друг от друга аспектами, а представляют две стороны единого эволюцион­ного процесса развития этого понятия. Каждая из этих теорий разъясняет и дополняет содержа­ние понятия, раскрывая его суть шире, полнее и яснее. Натуральное число появляется как мощ­ность конечного множества, а множество нату­ральных чисел в целом характеризуется и кри­сталлизуется как единое целое с помощью тео­рии порядкового числа. Когда теория порядко­вого числа не в состоянии развить учение о чис­ле дальше, мы общаемся к теории кардинально­го числа для сравнения различных бесконечных множеств по их мощностям» [6. С. 5354].

Это единство обеих теорий обосновыва­ется в книге И. К. Андронова и А. К. Окунева «Арифметика рациональных чисел». О един­стве теорий кардинального и порядкового числа можно найти и у Д. Гильберта. Общность обе­их теорий заключается в том, что, с одной сто­роны, ни одна теория в отдельности не в состо­янии раскрыть и развить понятие натурально­го числа полностью и в совершенстве. С другой стороны, их чередование в обосновании и раз­витии этого понятия полностью раскрывает ин­вариантность одной теории с инвариантностью другой, то есть понятие мощности становится результатом счёта и наоборот. По утверждению Фройденталя Г., различие заключается лишь в историческом плане, то есть в том, что «коли­чественное число - совершенно примитивное понятие, которое в развитии человечества было вскоре заменено более тонким»[5. С. 116].

Таким образом, понятия «натуральное число» и «множество натуральных чисел» ста­новятся понятными и логически завершенны­ми только в совместном рассмотрении карди­нального и порядкового подходов к ним, а не в раздельном их изучении. Первая теория поясня­ет содержательную сторону понятия числа, опе­рируя конкретными множествами, вторая теория усовершенствует математическую сторону поня­тия, отвлекаясь от его содержательной стороны, возвышая это понятие на новую ступень абстрак­ции. Затем снова возвращается к теории карди­нального числа, разъясняя содержательную сто­рону трансфинитных чисел. В таком подходе к этому понятию чётко видно философское разъ­яснение природы развития понятий. Такая пози­ция придерживается многими учеными и педаго­гами, в частности А.П. Менчинской.

Разработанные учебноэксперименталь­ные материалы [7, 8, 9, 10] и прошедшие апро­бацию неоднократно в VXI классах не продви­гаются за пределами региона, ссылаясь на то, что МОиН РФ запретило заниматься по учебным по­собиям, не имеющим их гриф. Нашим пособи­ям ранее такой гриф не давали по причине, что их содержание выходит за пределы имеющихся стандартов. Теперь «Новое поколение стандартов образования» стало ближе к нашим позициям. Можно надеяться на то, что наши пособия станут доступными для массового учителя математики. Более того, вопрос о числе нуль возник изза того, что учащийся, считавший запись: 0eN- истин­ным высказыванием, получил низкий балл, а дру­гой учащийся, считавший эту запись ложным вы­сказыванием, получил на балл выше. Выходит, что быть ближе к науке иногда вредно.

Список литературы

1.    Дорофеев Г.В. Математика для каждо­го. М.: АЯКС, 1999. - 390 с.

2.    Кондаков Н.И. Логический словарь. Справочник. М.: Наука, 1976. - 717 с.

3.    Математическая энциклопедия. М.: Сов.энциклопедия, 1979.

4.    Ожегов СИ., Шведова Н.Ю. Толко­вый словарь русского языка. М.: РАН, 2009. - 940 с.

5.    Фройденталь Г. Математика как педа­гогическая наука. 4.1.- М.: Просвещ., 1982, 208 с.

6.    Шихалиев Х.Ш. Об альтернативном подходе к разработке школьных курсов матема­тики. Махачакала: ДГПУ, 2010. - 196 с.

7.    Шихалиев Х.Ш. Математика 56. Учебное пособие. -Махачкала: ДГПУ, 1997. - 246 с.

8.    Шихалиев Х.Ш., Алиев Р.Г. Математи­ка 1011. Пробное учебное пособие. - Махач­кала: Лотос, 2007. - 160 с.

9.    Шихалиев Х.Ш. Алгебра 79. Учебное пособие. - Махачкала: Лотос, 2007. - 256 с.

10.  Шихалиев Х.Ш. Геометрия на плоскости 59. Учебное пособие. Махачкала: ДГПУ,1997. - 344 с.