Как известно, основным волновым уравнением нерелятивистской квантовой механики является уравнение Шредингера, которое в одномерном случае имеет вид
В случае ЛГО с потенциальной энергией 1 2
решение уравнения (1) приводит к правилу квантования энергии стационарных состояний
где п=0,1,2,3,...
Согласно (3) при п=0 в основном состоянии ЛГО имеется отличная от нуля конечная энергия
Известно также, что результат (4) согласуется с соотношением неопределённостей Гейзенберга (см., напр., [1, с. 96; 2, с. 111]). В этом можно убедиться следующим образом. Согласно (1) и (2) в основном состоянии ЛГО с волновой функцией ψ0 и энергией Е0 выполняется уравнение
Решением этого уравнения является
где А - постоянный нормализующий коэффициент. В состоянии (6)
Согласно (7) и (8) выполняется соотношение неопределённостей
ПРи этом согласно (5)
С учетом (7) и (8) из (10) следует
Необходимо отметить, что уравнение Шредингера не имеет строгого вывода. «Оно не выводится, но устанавливается, и правильность его подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов» [3, с. 490]. Однако не всегда уравнение Шредингера согласуется с опытными данными. В частности, при учёте энергии нулевых колебаний спектральная плотность равновесного излучения определяется выражением
отличающимся от формулы Планка вторым слагаемым. При этом полная плотность энергии равновесного излучения в основном состоянии
что противоречит закону СтефанаБольцмана, согласно которому
Как отметил Бриллюэн [4, с. 89], «этот результат неприемлем».
В [5] нами установлено уравнение, представляющее обобщение уравнения Шрёдингера на случай, когда импульс зависит от координаты (напр,, в случае ЛГО Рх = imωx)
которое, в отличие от обычного уравнения Шрёдингера, не постулируется, а имеет строгий вывод. Как показано нами в [6], обобщённое уравнение Шрёдингера приводит к теоретическому обоснованию постулата Планка
Как видно из (16), минимальная энергия ЛГО согласно уравнению (15) равна нулю. Однако решение обобщённого уравнения (15) приводит в основном состоянии к тем же волновым свойствам (6), что и обычное уравнение Шрёдингера, и согласуется с соотношением неопределённостей.
В качестве экспериментального
доказательства существования энергии нулевых колебаний обычно принимаются
опыты по рассеянию рентгеновских лучей в кристаллах при низких температурах.
При этом стремление к некоторому конечному пределу эффективного сечения
рассеяния рассматривается как подтверждение правильности выводов волновой
теории Шрёдингера [1, с. 112] Однако, те же неопределённости координаты и
импульса, которые имеются согласно обычному уравнению Шрёдингера (1) и могут
привести к рассеянию рентгеновских лучей в кристаллах, имеются также в основном
состоянии ЛГО согласно уравнению (15). Поэтому нельзя рассматривать рассеяние
рентгеновских лучей в кристаллах при низких температурах как однозначное
экспериментальное подтверждение вывода, вытекающего из уравнения Шрёдингера
(1) о наличии у ЛГО отличной от нуля минимальной энергии, равной 
.
Данная работа является продолжением серии работ, выполненных совместно с доктором физикоматематических наук, профессором Моисеем Соломоновичем Свирским (19232010), который на протяжении 15 лет являлся членом Российской Академии Естествознания.
Список литературы:
1. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика.- М.: Наука, 1973.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. -М: Наука, 1989
3. Шпольский Э.В. Атомная физика, т. 1. - М: Наука, 1974.
4. Бриллюэн Л. Квантовая статистика. - Харьков - Киев: ГНТИУ, 1934.
5. Свирский М.С., Свирская Л.М. Материалы УШмеждународнойнаучнопрактической конференции «Вузовское преподавание: проблемы и перспективы». Челябинск, 2007, с. 141.
6. Свирская Л.М., Свирский М.С. О возможности теоретического обоснования постулата Планка на основе обобщённого уравнения Шрёдингера / Успехи современного естествознания, 2010, №9, с. 228230.