Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,021

В курсах лекций по гидродинамике, чи­таемых в вузах, исследование движения шара в идеальной несжимаемой жидкости представле­но лишь для частных случаев, когда отсутству­ет силовое поле, а центр масс шара совпадает с его геометрическим центром [1, 2, 3]. В кни­ге [4] рассмотрен случай только вертикально­го движения в жидкости свободного тяжелого шара. Ниже излагается обобщение этого реше­ния на случай произвольных начальных усло­вий динамической задачи о движении в безгра­ничной идеальной жидкости (при v = 0) шара радиуса а, центр тяжести которого совпадает с его центром.

Принимается, что поле скоростей в жид­кости безвихревое , а потенциал скоро­стей ф удовлетворяет уравнению Лапласа Δφ=0 (Δ- оператор Лапласа). Положение центра шара А в некоторой неподвижной системе коор­динат в любой момент времени t определяется радиусомвектором а его скорость - век­тором . В начальный момент времени t=0 принимается

где векторы и считаются заданны­ми.

Так как принимается, что жидкость иде­альная, то вращение шара в ней, если оно име­ет место, никак не влияет на ее движение и поэ­тому на поверхности шара S достаточно выпол­нять условия непроницания

Для точки жидкости, положение которой определено радиусомвектором , принимаем В соответствии с рабо­той [5] потенциал поля скоростей ф и поле ско­ростей, порожденные в жидкости движущимся шаром, определяются по формулам

где

В рассматриваемом случае систему жидкостьшар можно рассматривать как систе­му с тремя степенями свободы, которым ста­вятся в соответствие координаты центра шара. Определим функцию Лагранжа этой системы L = Т - V, где V - ее потенциальная энергии, а Т - кинетическая энергия. Переменная часть потенциальной энергии системы равна

V=VS+VF                                     (4)

где - потенциальная энергия шара, a -жидкости.

Кинетическая энергия системы вычисля­ется по формуле

Учитываем, что

Так как течение жидкости принято потен­циальным, то . Поэтому имеет ме­сто равенство и интеграл в выра­жении (5) принимает вид

Последний интеграл с помощью форму­лы ОстроградскогоГаусса преобразуется в по­верхностный ( - внешняя по отношению к жидкости нормаль к поверхности S)

При этом выражение (5) для кинетической энергии системызаписывается так

 

В соответствии с формулами (3) на поверхности шара S имеем

При этом справедливы равенства

 

Для вычисления последнего интеграла учитываем, что . Следовательно

Поэтому

Если принять в декартовых координатах rА=(q1,q2,q3), =(g1,g2,g3),то функция Лагранжа рассматриваемой системы может быть вычислена по формуле

Так как

 

то уравнения Лагранжа второго родапринимают вид 

из которых следует векторное уравнение

решение которого, удовлетворяющее условиям (1), определяет траекторию центра шара   

Как следует из последней формулы, центр шара в общем случае движется по параболе, ле­жащей в плоскости, построенной на векторах g и йА0, если их начала совместить с начальным положением центра шара, Эта плоскость рас­положена вертикально, так как содержит в себе вектор ускорения свободного падения .

При шар движется прямоли­нейно с постоянной скоростью .

При шар ускоренно всплывет, а при шар ускоренно тонет.

При движении шар испытывает динами­ческое сопротивление

величину которого можно определить на основе теоремы о количестве движения из урав­нения

Существенно, что это сопротивление на­правлено не против скорости, а против ускоре­ния земного тяготения, когда шар тонет, и оди­наково направлено с ним, когда шар всплывает.

Список литературы

1.  Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М., 1973.817 с.

2.  КочинН.Е., КибельИ.Я.,РозеН.В. Тео­ретическая гидромеханика. М., 1963. Т. 1, 586 с.

3.  Валландер СВ. Лекции по гидроаэро­механике. Л., Издательство ЛГУ, 1978, 286 с.

4.  Batchelor G.K. An Introduction to Fluid Dinamics. Cambridge University. 2000. 631 pp.

5.  Снопов А.И. Потенциалы скоростей, порождаемые круглыми цилиндром и шаром в потоке жидкости// Современные наукоемкие технологии, ,№ 7, 2010, С. 321324.