В курсах лекций по гидродинамике, читаемых в вузах, исследование движения шара в идеальной несжимаемой жидкости представлено лишь для частных случаев, когда отсутствует силовое поле, а центр масс шара совпадает с его геометрическим центром [1, 2, 3]. В книге [4] рассмотрен случай только вертикального движения в жидкости свободного тяжелого шара. Ниже излагается обобщение этого решения на случай произвольных начальных условий динамической задачи о движении в безграничной идеальной жидкости (при v∞ = 0) шара радиуса а, центр тяжести которого совпадает с его центром.
Принимается, что поле скоростей в жидкости
безвихревое 
, а потенциал скоростей
ф удовлетворяет уравнению Лапласа
Δφ=0 (Δ- оператор Лапласа).
Положение центра шара А в некоторой неподвижной системе координат в любой
момент времени t определяется радиусомвектором 
а его
скорость - вектором 
. В начальный момент времени t=0
принимается
где векторы 
и
считаются заданными.
Так как принимается, что жидкость идеальная, то вращение шара в ней, если оно имеет место, никак не влияет на ее движение и поэтому на поверхности шара S достаточно выполнять условия непроницания
Для точки жидкости, положение которой определено
радиусомвектором 
,
принимаем 
В соответствии с работой [5]
потенциал поля скоростей ф и поле скоростей, порожденные в жидкости движущимся
шаром, определяются по формулам
где 
В рассматриваемом случае систему жидкостьшар можно рассматривать как систему с тремя степенями свободы, которым ставятся в соответствие координаты центра шара. Определим функцию Лагранжа этой системы L = Т - V, где V - ее потенциальная энергии, а Т - кинетическая энергия. Переменная часть потенциальной энергии системы равна
V=VS+VF (4)
где 
- потенциальная энергия шара, a 
-жидкости.
Кинетическая энергия системы вычисляется по формуле
Учитываем, что 
Так как течение жидкости принято потенциальным, то 
.
Поэтому имеет место равенство 
и интеграл в выражении (5) принимает вид
Последний интеграл с помощью
формулы ОстроградскогоГаусса преобразуется в поверхностный (
- внешняя по отношению к
жидкости нормаль к поверхности S)
В соответствии с формулами (3) на поверхности шара S имеем
При этом справедливы равенства
Для вычисления последнего интеграла учитываем, что 
. Следовательно
Поэтому
Если принять в декартовых координатах rА=(q1,q2,q3), 
=(g1,g2,g3),то
функция Лагранжа рассматриваемой системы может быть вычислена по формуле
Так как
то уравнения Лагранжа второго
рода
принимают вид
из которых следует векторное уравнение
решение которого, удовлетворяющее условиям (1), определяет траекторию центра шара
Как следует из последней формулы, центр шара в общем
случае движется по параболе, лежащей в плоскости, построенной на векторах g и йА0, если их начала совместить с начальным положением
центра шара, Эта плоскость расположена вертикально, так как содержит в себе вектор
ускорения свободного падения .
При 
шар движется прямолинейно с постоянной скоростью .
При
шар ускоренно всплывет, а при 
шар ускоренно тонет.
При движении шар испытывает динамическое сопротивление
величину которого можно определить на основе теоремы о количестве движения из уравнения
Существенно, что это сопротивление направлено не против скорости, а против ускорения земного тяготения, когда шар тонет, и одинаково направлено с ним, когда шар всплывает.
Список литературы
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М., 1973.817 с.
2. КочинН.Е., КибельИ.Я.,РозеН.В. Теоретическая гидромеханика. М., 1963. Т. 1, 586 с.
3. Валландер СВ. Лекции по гидроаэромеханике. Л., Издательство ЛГУ, 1978, 286 с.
4. Batchelor G.K. An Introduction to Fluid Dinamics. Cambridge University. 2000. 631 pp.
5. Снопов А.И. Потенциалы скоростей, порождаемые круглыми цилиндром и шаром в потоке жидкости// Современные наукоемкие технологии, ,№ 7, 2010, С. 321324.