Нелинейные свойства живых систем позволяют получать максимальный отклик при малых управляющих сигналах, а хаос приводит к устойчивости системы в связи с повышением степеней свободы [1]. Нелинейная динамика предлагает следующие способы анализа нелинейных свойств систем по временным рядам: метод псевдофазовых и фазовых портретов, расчет показателей Ляпунова и определение времени забывания начальных условий, эволюции фазового объёма, анализ аттракторов фазовых траекторий. К последнему относятся анализ корреляционной размерности и оценка минимума энтропии Колмогорова через корреляционный интеграл а также вычисление спектра обобщённых размерностей Реньи.
Используемые методы
- Псевдофазовый портрет. Псевдофазовый портрет (ПФ) определяет зависимость каждого последующего значения от предыдущего: , Δ - временная задержка. Размывание ПФ происходит после забывания нелинейной системой начальных условий.
- Фазовый портрет. Фазовый портрет (ФП) связывает значение показателя со скоростью его изменения. Циклическое поведение фазовой траектории свидетельствует о наличии притягивающего множества (аттрактора). Характеристикой ФП является фазовый объём.
- Показатели Ляпунова. Хаос в детерминированных системах подразумевает чувствительную зависимость от начальных условий: две траектории, близкие друг к другу в начальный момент времени, экспоненциально расходятся за незначительное время, характеристикой такого расхождения является положительный показатель Ляпунова λp, тогда расстояние между траекториями: . Наряду с периодическими расхождениями траекторий в устойчивой системе происходит и их сжатие. Для характеристики сжатия траекторий при наличии регулярного процесса используется отрицательный показатель Ляпунова λn.
- Время забывания начальных условий - это время, за которое система полностью забывает начальные условия, δ выходит на насыщение. Оно является характеристикой памяти системы. Для определения времени забывания начальных условий (tr) используется выражение (Г. Быстрай): , где μ0 - начальный, - конечный фазовые объёмы.
- Эволюция фазового объёма. Фазовый объём (ФО) - объём, занимаемый траекторией в фазовом пространстве. В консервативных системах ФО со временем не меняется. В системах с хаосом происходит его сжатие до некоторого предельного значения. Для таких систем существует связь показателей Ляпунова с эволюцией фазового объёма V(t): , где , |τ0| - характерное время изменения ФО.
- Спектры пульсаций. Использование спектрального подхода позволяет интерпретировать в качестве некоторого закона зависимость мощности пульсаций сигнала от частоты: S(f) ~ 1/ f α. Установление подобных закономерностей является необходимым элементом изучения хаотической динамики переменных в любой рассматриваемой системе.
- Показатель Хёрста (H) - является мерой персистентного (сохранение тенденции, 0,5<H<1) или антиперсистентного (смена тенденции, 0<H<0,5) поведения ряда (при наличии самоподобия). Метод был расширен для анализа временных рядов произвольной формы. Для расширенного анализа необходимо построение Н от временного масштаба.
- Обобщённые размерности Реньи - являются важным показателем однородности аттрактора. Особенно важны для анализа живых систем геометрическая размерность (D0), информационная (D1) и корреляционная (D2). Размерность D0 отражает структурную неоднородность системы, D1 - информационную сложность, D2 - динамическую неоднородность.
- Минимум энтропии Колмогорова. Обобщение понятия корреляционного интеграла позволяет найти оценку снизу энтропии Колмогорова - важнейшей характеристики хаотических систем. Если минимум энтропии Колмогорова К больше нуля, следовательно сама энтропия также положительна, что свидетельствует о наличии хаотических процессов в работе сердечной мышцы. При К→0 наблюдается переход к регулярному процессу.
Применение методов нелинейной динамики в анализе живых систем
Используя корреляционную размерность и метод вычисления минимальной размерности вложения исследовалась модель сокращения миофибрилл [2], которая учитывает изменение концентрации ионов кальция в саркоплазмотическом ретикулуме (СР) при фиксированном значении концентрации АТФ. Данная модель сводится к системе уравнений Лоренца, которые описывают механические процессы, связанные с сокращением, включая вязкоупругость. К данной системе добавляется уравнение, описывающее изменение концентрации ионов кальция в растворе, при этом предполагается постоянство концентрация АТФ. Приведённые выше методы показывают, что система персистентная; уменьшение приведенной концентрации ионов кальция со временем ограничено значением 10-7 моль/м3, по достижению которого приведенная концентрация начинает возрастать, что указывает на приход к СР нервного импульса и хорошо согласуется с наблюдаемыми явлениями.
Применение методов нелинейной динамики в анализе ЭКГ
Обнаружено, что при патологии миокард обладает малой информационной памятью, в нем преобладают случайные процессы, нарушается регулярность процессов возбуждения и функция рассеяния механической энергии, что приводит к перегреву мышцы, уменьшается функциональный резерв сердца [3]. Использование перечисленных методов для анализа состояния миокарда по временным рядам электрокардиограмм позволяет выявить и спрогнозировать развитие аритмии, что не может быть сделано при обычном анализе ЭКГ.
Таким образом, приведённые методы позволяют провести комплексный анализ нелинейных живых систем, позволяющий определить основные хаотические характеристики и параметры системы, в том числе для выявления нарушений в работе таких систем.
Список литературы
- БыстрайГ.П. Термодинамика неравновесных процессов в открытых нелинейных физико-химических системах с детерминированным хаосом: автореф. дис. д-ра физ. - мат. наук: 02.00.04 // Г. П. Быстрай; Урал. гос. ун-т им. А. М. Горького. - Екатеринбург: 2009. - с. 41: ил. - Библиогр.: с. 31-34 (79 назв.).
- Охотников С.А., Быстрай Г.П., Лыков И.А. Массоперенос и волны переключения в системе сокращающихся миофибрилл в присутствии раствора с ионами кальция // Вестник кибернетики [Электронный ресурс].-Электрон.журн. - Тюмень: ИПОС СО РАН, 2010. - №9. - С. 99-108.- Режим доступа: http://www.ipdn.ru/, свободный.
- НайдичА.М. Структурная неоднородность левого желудочка и ремоделирование миокарда // Научно-практический журнал «Бюллетень сибирской медицины»; Т. 1, 2006. С. 38-45.