Введение
В современном мире возрастают требования к надёжности и безопасности гидротехнических сооружений, построенных на территориях с инженерной застройкой (сельскохозяйственные здания, мелиоративные системы и насосные станции и др). Грунтовые плотины, резервуары и дренажные системы работают в условиях сложной взаимосвязи гидродинамических, тепловых, химических и механических процессов внутри деформируемых пористых сред [1].
Традиционные модели фильтрации по Дарси [2, с. 69], как правило, предполагают статическую пористость и линейные взаимосвязи, что ограничивает их применение к реальным объектам, где свойственные грунту качества изменяются во времени под влиянием внешних факторов [3]. В условиях современных проектов и мониторинга требуется учитывать деформации пористой среды – водонасышенного (дренированного) или неводонасыщенного (недренированного) грунта, переменную пористость и сложные граничные условия на их движущихся поверхностях и границах раздела [4].
Современные подходы к моделированию фильтрации в грунтах обычно опираются на классические теории потока в пористой среде (Дарси [5], расширения типа Бринкмана [6], а при влажном состоянии – уравнение Ричардса [7]). В моделях эрозионной устойчивости и пороговых условий переноса частиц используется критерий Шильдса [8]. Однако существующие модели чаще всего ограничены одной породой или конкретной гидродинамической и геотехнической конфигурацией, не учитывают в полной мере переходы между насыщенными и ненасыщенными режимами, неоднородность состава грунтовых слоев, а также механическую реакцию грунтов на фильтрационную нагрузку в условиях многослойной геометрии оснований гидротехнических сооружений.
Цель исследования заключается в разработке и формализации обобщенной математической модели, позволяющей прогнозировать развитие области размыва, изменение поверхностей размыва и устойчивости плотины под влиянием техногенных факторов при воздействии на грунт жидкостей с различными физико-химическими свойствами.
Материалы и методы исследования
Теоретико-аналитической основой настоящего исследования стал выбор и обобщение законов фильтрации (Дарси [5], Дарси – Герсеванова [2, с. 69]) с учётом деформаций пористой среды – грунта, его переменной пористости и влияния техногенных факторов (концентрации солей, температуры, осмотического воздействия). При этом формирование обобщенной модели переноса осуществлялось с помощью совместного описания фильтрации, переноса солей, теплообмена и осаждения пульпы в области размыва.
Математическое описание задач проводилось по следующим трекам.
1. Геометрия и области: разделение задачи на тело дамбы (плотины) О1 и область размыва (О2) с соответствующими границами и движущейся поверхностью впадины трещины; определение сопряжённых условий на границе Гr.
2. Определение переменных и тензоров: давление Р, концентрация соли С, температура T, концентрация пульпы S; коэффициенты фильтрации kh (Х, t), термодиффузии DT, осмотические и прочие.
3. Постановка задач в натуральной постановке: формулировка операторов lp, lc, lT и ls для давления, концентрации соли, температуры и пульпы, соответственно; учет начальных условий (P0, C0, T0, S0) и комбинированных граничных условий.
4. Разработка сопряжённых условий: учет зависимости e, ρж, ρг от физико-химического состояния среды на границе Гr и в области размыва.
Перенос массы и тепло учитывались с помощью:
1) уравнения переноса соли – с учётом конвекции, диффузии и осмоса; с учётом влияния коэффициентов осмоса, которые зависят от температуры и концентраций различных сред;
2) уравнения теплопереноса – с учетом термодинамических факторов, а также влияния теплоёмкости и теплопроводности; с учетом связи переноса солей и химико-термическими эффектами на процесс фильтрации;
3) взаимодействия процессов массотеплопереноса с фильтрацией – анализ мультифизических связей и их влияния на коэффициент kh и динамику области размыва.
Результаты исследования и их обсуждение
В результате математического моделирования поставленных задач разработана обобщенная математическая модель, позволяющая прогнозировать развитие области размыва, изменение поверхностей размыва и устойчивость дамбы (плотины) под влиянием техногенных факторов при воздействии на грунт жидкостей с различными физико-химическими свойствами. Она, помимо всего прочего, содержит в себе математическую модель фильтрации тела грунтовой плотины с уплотненной областью размыва, математическую модель фильтрации в биопластинчатом фильтре. В дальнейшем полученная математическая модель будет верифицирована с помощью численного расчета ее основных параметров.
Грунт при моделировании считается изотропным. На рис. 1 показана грунтовая дамба (плотина), в теле которой расположена дренажная система или потенциальный трубный водосброс – водовод. В результате повреждения водовода образуется область размыва (заштрихованная область на рис. 1). В теле дамбы (плотины) происходят сложные процессы фильтрации, которые каким-либо образом зависят от наличия работающего или поврежденного водовода. Существование такого водовода влияет на расположение поверхности впадины, на которой он находится, а также на процессы фильтрации в области околотрубного водосброса. При повреждении такого водовода образуется область размыва со значительным выносом грунта, которая со временем может увеличиваться и вызывать обрушение плотины – проран [9].
На основании расчетной модели, показанной на рис. 1, будем считать весь объем дамбы (плотины) некоторой трехмерной областью О1, на которую наложен ряд ограничений – Г1, Г2, Г3, Г4, Г5. При этом Г0 – это свободная поверхность (граница), представляющая собой поверхность гребня дамбы (плотины). В объеме О1 находится водовод и область размыва, которую обозначим как О2. На область размыва О2 наложим ряд взаимосвязанных ограничений: Г2, Г3 – участки границы, через которые водовод «дышит», контактируя с окружающей атмосферой; Г1, Г4, Г5 – границы служат абсолютными барьерами, через которые ничего не проникает; Г12 – граница становится актуальной, когда процесс вымывания грунта происходит с высокой скоростью; Г11 – граница играет ключевую роль в определении взаимосвязи между различными параметрами, так как она разделяет пористый грунт и область, где происходит его вымывание пульпой. Пульпой будем считать водный раствор соли (если речь идёт о переносе соли) и твёрдых, нерастворимых частиц, вымытых из грунтового массива. Стенки водовода – непроницаемые.
В авторской математической модели учтен принцип работы системы фильтрации Биоплато [10] с каменной засыпкой (рис. 2а). Загрязненная вода поступает на поверхность Биоплато через перфорированные трубы Г1, расположенные на входной границе. Несмотря на подачу воды в водоводы под давлением, после выхода из них она свободно просачивается в пористый грунт. Границы Г3 и Г4 – непроницаемы. Отфильтрованная вода удаляется через перфорированные трубы, расположенные на выходной границе Г2.
На рис. 3 представлен характер течения жидкости через горизонтальный водовод (перфорацию) в грунтовом массиве. При кольматации наблюдается динамическое изменение пористости грунта, что оказывает непосредственное влияние на коэффициент фильтрации. Следовательно, для корректного моделирования функционирования фильтра Биоплато необходимо учитывать данные эффекты в уравнении фильтрации.
1. Для грунта с переменной пористостью уравнение фильтрации выражается законом Дарси [5] и формулируется так:
(1)
где u – скорость фильтрации, м/c; ∇P – гидравлический градиент, м/м; kh – коэффициент фильтрации, м/с.
Рис. 1. Тело грунтовой плотины водохранилища и область потенциального размыва Источник: составлено автором по моделируемой задаче
а) 
б) 
Рис. 2. Корпус Биоплато-фильтра: а) объемный; б) плоский Источник: составлено автором по моделируемой задаче
Рис. 3. Схема для моделирования потока через водовод (перфорацию) в грунте Источник: составлено автором по моделируемой задаче
Закон Дарси с учетом поправок М. М. Герсеванова [2, с. 69] имеет модифицированный вид:
(2)
где e – коэффициент пористости грунта; v – скорость движения частиц грунта, м/с.
В неизотермических условиях выражение закона Дарси – Герсеванова [7] для динамики солевых растворов в пористой среде имеет следующий вид:
(3)
где T – температура, ºС; C – концентрация химического раствора, кг/л; kc – коэффициент концентрации химического раствора химического осмоса; kТ – коэффициент температуры химического осмоса. В работе [11] было получено обобщенное фильтрационное уравнение в пористой среде с учетом влияния техногенных факторов в тензорной форме:
(4)
где R – заданный размер, м; γс – удельный вес раствора соли, Н/м3; a – коэффициент сжатия грунта, Па-1; Сг – концентрация суффозионных частиц грунта, кг/м3; Сc – концентрация солей в грунте, кг/кг; Р – поровое давление, Па; ρг – плотность грунта, кг/м3; ρж – плотность жидкости, кг/м3; Ка – коэффициент активного давления грунта; ρс – плотность соли, кг/м3; ∇ – тензор; kh – коэффициент фильтрации, м/с; Fo – силовой фактор осмотических воздействий.
C учетом закона Дарси – Герсеванова [7] выражение (4) будет иметь следующий вид:
, (5)
где σ – изменяемая пористость; Z – изменяемая концентрация водорастворимых пород в твердой фазе, кг/кг; S – изменяемая концентрация подвижных твердых водорастворимых частиц, кг/кг; ρZ – плотность водорастворимых твердых частиц солей, кг/м3; ρs – плотность суффозионного материала в водоводе, кг/м3.
2. Уравнения переноса теплоты и массы движущихся частиц. Вследствие интеграции антропогенных факторов в представленные уравнения фильтрации для полного описания процессов переноса теплоты и массы движущихся частиц в жидкой фазе требуется дополнить систему уравнений. Это дополнение должно включать уравнения, позволяющие определить: концентрацию растворенных солей в жидкой фазе грунта С(X,t), температурное поле грунта, концентрацию солей в твердой фазе грунта, концентрацию взвешенных нерастворимых твердых частиц в жидкой фазе.
Уравнение переноса солей в жидкой или твердой среде в тензорной форме имеет следующий вид [12]:
, (6)
где DT – коэффициент термодиффузии, м2/(с·ºС); Dс – коэффициент конвективной диффузии, м2/с; Cв – концентрация водорастворимых пород в грунте, кг/кг.
Учтем в уравнении переноса массы частиц воздействие химических и термических факторов, которые влияют на изменение плотности жидкости в порах грунта [13]:
. (7)
Выражение функционального теплопереноса T(X, t) имеет вид [13, c. 70]:
, (8)
где λг – коэффициент теплопроводности грунта, Вт/(м·ºС) ; ρп – плотность солевого раствора, находящегося в порах грунта, кг/м3; ср – удельная теплоемкость раствора соли, Дж/(кг·°C); сТ – объемная теплоемкость грунта, Дж/(м³·°C).
С учетом суффозионных процессов, происходящих в грунте, через который фильтруется жидкость с различным содержанием солей, согласно работам [12; 13] можно записать:
, (9)
где ср, сs, cz – соответственно, удельная теплоемкость жидкости в порах грунта, суффозионных частиц и твердых водорастворимых частиц грунта, Дж/(кг·°C).
Область размыва начинает образовываться во время контактной эрозии грунта с водоводом, последний заполняется пульпой, согласно рис. 3. Для математического описания характера изменения концентрации пульпы в области размыва с учетом скорости осаждения частиц пульпы в водоводе воспользуемся диффузионной моделью в тензорном виде [14]:
, (10)
где S(X, t) – объемная концентрация пульпы в водоводе, кг/м3; Ds – коэффициент дисперсности пульпы; w – скорость седиментации твердых частиц пульпы, м/с.
Зададим начальные и граничные условия для неизвестных функций:
, (11)
где Т0(X) – функция температуры; S0(X) – функция концентрации пульпы; P0(X) – функция избыточного давления; С0(X) – функция концентрации химических веществ.
Дренируемая область О имеет свои границы. Граничное условие для давления Р концентрации химических веществ С будет иметь вид:
, (12)
, (13)
где Р1 (X,t) – заданная функция давления, Па; C1 (X, t) – заданная функция концентрации химических веществ в грунте, кг/кг.
При рассмотрении границ области О как непроницаемых граничное условие непроницаемости для случая скоростной фильтрации запишется в виде:
. (14)
Непроницаемость может быть обусловлена наличием слоя каменной наброски или грунта, который по своим физико-химическим свойствам является непроницаемым. Значит, для химических веществ пределы условий непроницаемости определяются с учётом их концентрации из выражения [12]:
. (15)
Также непроницаемость грунта может быть обоснована расположением слоев соли. Тогда граничное условие для концентрации химических веществ будет иметь вид:
, (16)
где Cmax – концентрация граничного насыщения химическими веществами грунта, кг/кг.
При известной температуре на границе области размыва O имеем граничное условие:
, (17)
где T1 (X,t) – заданная функция температуры, ºС.
При известной концентрации пульпы в области размыва О имеем граничное условие:
, (18)
где S1 (X, t) – заданная функция концентрации пульпы, кг/кг.
3. Граничные условия в области размыва и на границе водовода с областью размыва.
Предполагается, что на границе контакта Гr в зависимости от площади грунтового массива выполняются условия сопряжения идеального контакта:
, (19)
где [ ] – символ переходных функций.
Граничное условие на границе размывания контакта грунта с водоводом имеет вид:
, (20)
где kр – коэффициент размыва грунта на Гij; ρT – плотность твердых частиц грунта, кг/м3; n – вектор направленных косинусов внешней нормали; d – вектор направленных косинусов касательных направляющих.
Концентрация твердых частиц в области размыва О достаточно мала, поэтому их влияние на вязкость и движение пульпы в этой области считается незначительным. В результате этого процесс движения пульпы в области размыва можно моделировать с использованием уравнений Навье – Стокса [15]:
, (21)
где ux, uy, uz, – радиальная, тангенциальная и вертикальная скорости движения пульпы, соответственно, м/с; ν – кинематическая вязкость жидкой фазы, м2/с; g – ускорение свободного падения, м/с2.
4. Модифицированное граничное условие для поверхности впадины тела грунтовой дамбы (плотины), на которой существует водовод.
Фильтрация воды внутри грунтовой дамбы (плотины) связана с наличием свободной границы – в трехмерном пространстве массива грунта это поверхность впадины, представляющая собой линию, где давление жидкости в порах грунта равно атмосферному. Для упрощения анализа принимается допущение, что любая вертикальная линия пересекает свободную границу только в одной точке.
В момент времени t = tj на свободной поверхности Ф(X, t, j), определяемой условием, для отдельной области Ω(j) зафиксировано положение. Далее исследовано движение этой свободной поверхности, направленное вдоль внешней нормали n (рис. 4).
В настоящей математической модели пренебрегаем инфильтрацией. Физико-химические и механические свойства в изолированном цилиндре грунта между двумя положениями свободной границы в моменты времени t = tj и t = tj+1 были аппроксимированы по линейными зависимостям. Тогда объем пор в выделенном цилиндре грунта будет равен:
, (22)
где σ(j) = σ (X(j), tj) x(j) ∈ S(j) – точка, принадлежащая выделенному полю S(j).
Рис. 4. Схема к моделированию положения свободной подвижной границы Источник: составлено автором по моделируемой задаче
Как видно из (22), пористость в полях S(j) и S(j+1) усредняется и ставится равной заданному значению величины в пунктах X(j+1) ∈ S(j+1) и X(j) ∈ S(j), соответственно. С другой стороны, с течением времени Δt = tj+1 – tj изменение объема жидкости в выделенном цилиндре из грунта будет равно:
. (23)
Сравнивая (22) и (23) в соответствии с Δt → 0 мы имеем граничное условие:
. (24)
В левой части (24) имеется полная производная по времени t. Тогда будем иметь:
. (25)
Принимая во внимание (25), из (23) получаем модифицированное граничное условие:
. (26)
Изменения в расположении поверхности впадины также могут возникать из-за уплотнения, разбухания грунта под ней. Обобщенное граничное условие для просадки грунта в результате его уплотнения учитывается в работе [16] и имеет вид:
, (27)
где z = l (x, y, t) – фиксация положения верхней подвижной границы грунта; z = L (x, y, t) – фиксация положения нижней подвижной границы грунта.
Предполагая независимость процессов растрескивания и адгезивности с учетом (27), вытекающего из (24), имеем:
. (28)
Для применения в выражении (28) зависимостей для е (σ), ρр, ρm должны быть известны их значения зависимости от концентрации соли в жидкой и твердой фазах, концентрации суффозионных частиц, температуры [17].
5. Обобщенная математическая модель, позволяющая прогнозировать развитие области размыва, изменение поверхностей размыва и устойчивость дамбы (плотины) под воздействием техногенных факторов при воздействии на грунт жидкостей с различными физико-химическими свойствами, показанная на рис. 1, описывается следующими уравнениями:
где
где t ∈ [0; t0], lp , lc , lT, ls – операторы, задающие граничные условия для давления, концентрации соли, температуры и концентрации пульпы, соответственно.
Математическая модель фильтрации тела грунтовой плотины с уплотненной областью размыва (рис. 1) включает в себя уравнения:
где τ – касательные напряжения на границе раздела грунта и водовода, Па;
где t ∈ [0; t0], lp, lc, lT, ls – операторы граничных условий для давления, концентрации соли, температуры и концентрации пульпы, соответственно.
Математическая модель фильтрации в биопластинчатом фильтре, показанная на рис. 2б, с учетом суффозии и кольматации содержит в себе следующий набор уравнений:
Предложенная математическая модель требует проверки на адекватность и численный расчет, что будет сделано в дальнейших исследованиях по данной тематике. После этого можно будет сделать вывод о соответствии полученной модели процессам разрушения в теле дамбы (плотины). После чего полученная математическая модель может использоваться при мониторинге гидротехнических сооружений грунтового типа.
Заключение
Разработана и формализована обобщённая математическая модель фильтрации, учитывающая деформацию пористой среды, переменную пористость, температурные и химические влияния, а также процессы переноса массы и тепла. В модели совмещено описание фильтрации, солепереноса, теплопереноса и осаждения пульпы, что обеспечивает многопараметрический подход к прогнозированию области размыва и устойчивости плотины. Введены новые операторы и сопряжённые условия, позволяющие более адекватно моделировать динамику фильтрационного потока через сложные структуры (в том числе биопластинчатые фильтры).
Работа подчёркивает необходимость учета динамического изменения пористости и влияния механических и химических процессов, например кольматации, на коэффициенты фильтрации. Обобщённая модель создает основу для дальнейшей верификации и численного моделирования, что позволит повысить точность прогноза развития размыва и предотвращения аварийных ситуаций на начальном этапе формирования эрозионных процессов.
Конфликт интересов
Финансирование
Библиографическая ссылка
Качаев А. Е. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ И ФИЛЬТРАЦИОННОГО РАЗРУШЕНИЯ РАЗЛИЧНЫМИ СРЕДАМИ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУНТОВЫХ ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ // Современные наукоемкие технологии. 2026. № 3. С. 28-39;URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=40702 (дата обращения: 01.04.2026).
DOI: https://doi.org/10.17513/snt.40702