Является ли разрешимое произведение упорядочиваемых групп упорядочиваемой группой. Оказалось, что разрешимое произведение упорядочиваемых групп вовсе не обязано быть упорядочиваемым. Контрпример строится для случая двуступенно разрешимого произведения упорядочиваемых групп.

Пусть A группа с образующими a,b,c и определяющими отношениями: A является упорядочиваемой группой. Обозначив через фактор – группу группы A по её коммутанту A1, через бесконечные циклические группы и , где k,e,n целые числа, e=0 или I. Построим группу со следующими соотношениями:

где группа G1 без кручения, причем, подгруппа ее является двуступенно разрешимой и .

В самом деле,

Существенным является то, что , так

Далее инвариантная абелева подгруппа группы абелева группа.

Возьмем группу и бесконечную циклическую группу {d*}. Тогда отображение при котором где можно продолжить до гомоморфизма, так как если некоторое слово равно единице в , то образ этого слова равен единице в G2. Здесь символ обозначает двуступенно разрешимое произведение. Но в силу того, что C действует нетождественно действует нетождественно на Получается, таким образом, что индуцирует автоморфизм второго порядка на группе и, следовательно, группа не является упорядочиваемой, действительно, полагая получаем:

,

а это недопустимо.

Таким образом, класс упорядочиваемых групп незамкнут относительно разрешимых произведений.