Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,969

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ИЗ ДАННЫХ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ

Ильяшева Г.И. 1 Саябаева А.Р. 1
1 Кокшетауский государственный университет им. Ш. Уалиханова
Эта работа показывает соотношение между стационарной задачей Шредингера и нестационарной задачей для одномерного волнового уравнения с нелокальным потенциалом. Эта связь выражается в определении дискретного спектра стационарной задачи по данным нестационарной задачи.
дискретный спектр
стационарная задача
нестационарная задача
1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1971. – 512 с.
2. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. – Новосибирск: Наука, 1972. – 301 с.
3. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния II // Современные проблемы математики. – М.:ВИНИТИ, 1974. – С. 93–180.
4. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. – М.: Мир, 1980. – 408 с.

Большой практический интерес представляет определение собственных значений сложных дифференциальных операторов.

Рассмотрим в пространстве функций одной переменной уравнение Шредингера [4]

Eqn44.wmf (1)

где x, y ∈ R, k > 0 и

Eqn45.wmf

Пусть q – вещественная локально-интегрируемая функция, удовлетворяющая условиям:

Eqn46.wmf (2)

Eqn47.wmf (3)

Обозначим множество всех функций q, удовлетворяющих условиям (2) и (3) через М.

Среди множества решений уравнения (1) будут интересовать те решения, которые на бесконечности Eqn48.wmf удовлетворяют условиям излучения Зоммерфельда [1].

Рассмотрим оператор Шредингера

Eqn49.wmf

где Q – оператор, действующий по правилу

Eqn50.wmf

Основным результатом теории рассеяния [3] является утверждение о том, для оператора H существует инвариантное относительно H разложение пространства L2(R) в ортогональную сумму

Eqn51.wmf

собственных подпространств, соответствующих дискретному и абсолютно-непрерывному спектру этого оператора.

Оператор Н имеет конечное число собственных значений, причем эти значения действительные положительные. Обозначим их через Eqn52.wmf, а соответствующие им собственные функции – через ψj, через qj– коэффициенты Фурье в разложении функции q по собственным функциям ψj

Eqn53.wmf

В данной работе предлагается метод определения собственных значений оператора Н из данных обратной нестационарной задачи. Дадим ее постановку.

Известно [2], что постановка обратной задачи неразрывно связана с постановкой прямой задачи, которая имеет следующий вид: в пространстве функций одной переменной для уравнения

Eqn54.wmf (4)

в области Eqn55.wmf найти функцию Eqn56.wmf удовлетворяющую уравнению (4) и начальным условиям

Eqn57.wmf (5)

Eqn58.wmf (6)

где ε – некоторая константа, ε > 0.

Сразу оговорим, что функция q(x) должна удовлетворять условиям (2)и (3).

Введем обозначение

Eqn59.wmf (7)

Положим, что при t < 0 функция u(x, t) продолжается нулем.

Поставим для уравнения (4) следующую обратную задачу: найти функцию q(x) ∈ C(R), если задано дополнительное условие

Eqn60.wmf

В процессе исследования прямой нестационарной задачи получено ее свойство, выраженное в следующей теореме.

Теорема 1. Для функции (7) имеет место соотношение

Eqn61.wmf (8)

где Eqn62.wmf, Eqn63.wmf – собственные функции непрерывного оператора Шредингера; C1j, C2j – некоторые коэффициенты.

Так как, согласно постановке обратной нестационарной задачи, функция

Eqn64.wmf

считается известной, то из соотношения (8) следует, что для функции Eqn65.wmf имеет место также следующее представление

Eqn66.wmf (9)

Равенство (9) выражает связь данных обратной нестационарной и стационарной задач.

Имеет место

Утверждение. Для собственных значений Eqn67.wmf оператора Шредингера справедливо равенство

Eqn68.wmf

Тогда в силу утверждения 1 два члена во вторых квадратных скобках выражения (9) в обобщенном смысле равны нулю. Следовательно,

Eqn69.wmf

Доказана

Теорема 2. При p = Ej функция Eqn65.wmf равна нулю, т.е.

Eqn70.wmf


Библиографическая ссылка

Ильяшева Г.И., Саябаева А.Р. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ИЗ ДАННЫХ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 3. – С. 49-50;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=31504 (дата обращения: 26.04.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252