Основная сложность в применении несимметричной теории упругости заключается в трудностях, возникающих при определении упругих констант, связывающих напряжения и моментные напряжения с кинематическими параметрами для получения определящих соотношений материалов. Описано и проведено небольшое число экспериментов [2], позволяющих идентифицировать шесть упругих констант среды Коссера лишь в самом простом изотропном случае за счет масштабного эффекта. Для таких экспериментов весьма сложно обеспечить достаточную точность измерений в силу того, что при уменьшении характерной длины образца существенно падает точность измерения градиентов деформаций. При этом экспериментально полученные упругие модули среды Коссера имеют ценность только, если позволяют предсказать напряжения и деформации для условий, отличных от тех, при которых проводился эксперимент, что не всегда имеет место. В связи с указанными ограничениями наиболее распространенным подходом к определению материальных констант для среды Коссера представляется их аналитическое или численное нахождение, исходя из известной структуры композитного материала и известных свойств компонентов, составляющих этот материал.
Методы представления неоднородной периодической среды в виде макроскопически однородной среды (в частности, среды Коссера) основаны на технике осреднения (гомогенизации). Исторически, самым ранним и естественным методом осреднения был метод прямого осреднения, разрабатывавшийся в том числе Хашиным и Штрикманом, и заключающийся в нахождении средних напряжений и деформаций для представительного объема образца. Такой метод подходит для осреднения любой неоднородной среды, но требует проведения дополнительных экспериментов и не использует знание о микроструктуре композита. Асимптотический метод осреднения, предложенный Бахваловым и Панасенко, и примененный для упругих композитов в работе [4], специально предназначен для осреднения композитных материалов с известной структурой. Метод заключается в асимптотическом разложении перемещений, напряжений и моментных напряжений по малому параметру, характеризующему размер ячейки периодичности композита. Преимущество этого метода, помимо строгости математической постановки, заключается и в возможнсти оценки погрешности аппроксимации. Существуют и более сложные методы осреднения, например метод интегральных преобразований Кунина, основанный на задании нелокальных интегральных определящих соотношений. Подход Кунина позволяет уйти от определения напряжений и деформаций и осуществлять процедуру осреднения непосредственно для определяющих соотношений.
В настоящей работе проводится исследование и сравнение способов нахождения определяющих соотноошений несимметричной теории упругости с использованием асимптотических методов [3] осреднения композитов с периодической структурой. Рассматривается композит с упругой матрицей и регулярными сферическими упругими включениями меньшей жесткости, для которого как аналитическими [4], так и численными [5] методами определяются материальные константы среды Коссера, и подтверждается существенность эффектов моментной упругости.
Список литературы
- Nowacki W. Teoria niesymetrycznej sprężystości / W. Nowacki. - Warsawa: PWN, 1971. - 246 с.
- Lakes R. Experimental method for study of Cosserat elastic solids and other generalized elastic continua. / Continuum Models for Materials with Micro-Structure, J. Wiley, NewYork, 1995. С. 1-22.
- Forest S., Pradel F. and Sab K., Asymptotic Analysis of Heterogeneous Cosserat Media / International Journal of Solids and Structures, vol. 38, 2001, С. 4585-4608.
- Bigoni D. and Drugan W.J. Analytical derivation of Cosserat moduli via homogenization of heterogeneous elastic materials. / J. Appl. Mech., 74, 2007. С. 741-753.
- Победря Б.Е., Омаров С.Е. Статическая задача несимметричной теории упругости для изотропной среды / .Е. Победря, С.Е. Омаров // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, математика. Механика. - 2007. - № 3. - С. 56-58.
Библиографическая ссылка
Леонов А.В. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОСРЕДНЕНИЮ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ КОССЕРА // Современные наукоемкие технологии. – 2010. – № 9. – С. 106-107;URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=25368 (дата обращения: 18.04.2024).