К числу явлений, неблагоприятно сказывающихся на функциональных характеристиках заготовки для световодного волокна, получаемой методом MCVD [3, 5], относится возникновение сублимации частиц, уже осевших на боковую поверхность опорной трубки, при проплавлении слоя. Для описания этого явления разумно использовать методику, предложенную в работе [4] и эффективно апробированную при исследовании сублимации стенок плоского канала. Описание течения в круглой трубке при более реалистичном пуазейлевском профиле скорости значительно усложняет задачу, поэтому последовательное претворение идей авторов работы [1, 2, 4] оказывается весьма затруднительным. Попытаемся получить приближенное решение, используя вариационную методику.
В рамках геометрии задачи, представленной на рис. 1, проанализируем течение газа-носителя со взвешенными в нем частицами, принимая во внимание сублимацию напыленного слоя.
Предполагается, что изменение радиуса трубки в результате сублимации происходит настолько медленно, что не влияет на характер процессов переноса. Поток газа считается гидродинамически стабилизированным с пуазейлевским профилем скорости и равномерным распределением температуры T0 в начальном сечении. Кроме того, входящий поток несет в себе напыляемые частицы концентрации C0, меньшей, чем концентрация насыщения, соответствующая температуре T0 и полному давлению.
Рис. 1. Схема модифицированного метода химического парофазного осаждения (MCVD): 1 – измерители и регуляторы расхода компонентов; 2 – трубка из плавленого кварца; 3 – осажденный слой; 4 – многосопловая горелка
Исходным пунктом анализа будут уравнения, выражающие законы сохранения энергии и массы в безразмерной форме
(1)
(2)
где использованы безразмерные переменные:
(3)
(величины с индексом f относятся к полностью развитому состоянию; 
– число Пекле; 
– число Льюиса).
При записи уравнений (1)–(2) сделаны предположения о малости поперечной составляющей скорости при изменении координаты Z. Кроме того, считаются неизменными физические характеристики процессов, а также предполагается, что скрытая теплота сублимации подводится в основном несущим газом, так что теплообменом «сублимирующаяся поверхность – внешняя среда» можно пренебречь. В результате выявляется прямая зависимость концентрации паров сублимирующегося материала от величины подводимого тепла, т.е. от поля температур. Эта зависимость и порождает основные сложности в решении системы уравнений (1)–(2) [4].
Достаточно тонкий анализ баланса потоков массы и тепла [4] на боковой поверхности трубки даёт краевое условие
при 
(4)
Второе краевое условие можно установить из требования равенства на стенке концентрации сублимирующегося материала концентрации насыщенных паров для системы «твердое тело – пар». В рамках построенной в работе [4] линейной модели состояния насыщения –
C = aT + b. (5)
Это условие имеет вид
Ф = –ks θ при 
(6)
где 
λs, Cp – скрытая теплота сублимации и удельная теплоемкость при постоянном давлении соответственно, а постоянная a определяется соотношением (5) и находится из формулы [2]
Здесь Ti и Tj – задают диапазон температур, для которых строится аппроксимация. Завершается постановка задачи введением условий цилиндрической симметрии
(7)
и условий в начальном сечении
θ = Ф = 1 при 
(8)
Решение системы уравнений (1)–(2) с краевыми условиями (4)–(8) будем искать вариационным методом, основанным на общей схеме построения термодинамических лагранжианов [5]. Используя общие принципы, сразу можем записать вариационную переформулировку рассматриваемой краевой задачи:
(9)
для процесса теплопроводности и
(10)
для процесса массопереноса.
Будем искать решение в виде
(11)
(12)
где λn, γn – собственные значения, а Tn, Fn – собственные функции, вид которых неизвестен.
Сопоставляя разложения (11) и (12) с краевыми условиями (4) и (6), приходим к выводу, что λn = γn.
Подставляя выражения для температуры и концентрации (11)–(12) и интегрируя по 
, получаем для каждого λn и каждой функции Tn и Fn условия
(9а)
(10а)
позволяющие в принципе решить поставленную задачу на основе аппроксимационной схемы Ритца. Для этого представим собственные функции Tn и Fn в виде разложения Неймана по функциям Бесселя:
(13)
(14)
Рассмотрим одночленную аппроксимацию. В этом случае краевые условия приводят к системе уравнений, связывающих λn и βn:
(4а)
(5а)
откуда
(15)
Кроме того, подставляя представления для Tn и Fn в формулировки (9а) и (10а) и производя варьирование по 
и 
(
и 
считаются постоянными на время варьирования), получаем систему уравнений
(16)
(17)
линейную относительно коэффициентов 
и 
. Нетривиальные решения существуют, если равен нулю определитель, составленный из коэффициентов, стоящих при 
и 
. Это условие дает второе уравнение, которое вместе с уравнением (15) позволяет найти λn и βn. В таблице приведены собственные значения λn и βn для некоторых наборов параметров L и ks, рассчитанные методом Стеффенсона.
Для того чтобы получить решение в окончательном виде, необходимо разработать методику вычисления коэффициентов 
и 
и Ak. 
можно определить из условия нормировки собственных функций Fk, из которого непосредственно следует представление
(18)
Коэффициенты 
найдем из краевого условия (4а).
Собственные значения λn и βn для различных комбинаций определяющих параметров процесса сублимации*
|
L |
ks |
λn |
βn |
L |
ks |
λn |
βn |
|
3,0 |
1,0 |
1,397 |
2,990 |
3,0 |
1,0 |
1,161 |
2,504 |
|
2,521 |
5,434 |
2,653 |
5,502 |
||||
|
3,566 |
7,414 |
3,760 |
7,855 |
||||
|
4,627 |
9,268 |
5,571 |
8,651 |
||||
|
6,744 |
13,725 |
5,832 |
11,79 |
||||
|
7,801 |
15,537 |
6,941 |
14,179 |
||||
|
0,81 |
0,1 |
2,154 |
2,433 |
0,81 |
1,0 |
2,262 |
2,593 |
|
5,244 |
5,556 |
2,979 |
4,510 |
||||
|
8,307 |
8,699 |
3,721 |
3,920 |
||||
|
14,416 |
15,002 |
5,326 |
5,767 |
||||
|
0,81 |
10,0 |
2,390 |
2,592 |
8,434 |
8,930 |
||
|
3,691 |
3,843 |
9,881 |
10,407 |
||||
|
5,496 |
5,813 |
11,544 |
12,200 |
||||
|
8,830 |
10,541 |
12,944 |
13,629 |
||||
|
0,81 |
1,0 |
14,653 |
15,276 |
||||
|
16,007 |
16,847 |
Примечание. *В таблице указаны не все собственные значения, которых, по-видимому, бесконечное множество, а только лежащие в пределах от 0 до 16,0.
(19)
Из условия однородности температуры и концентрации во входном сечении для нахождения коэффициентов An получаем формулу
(20)
Зависимость приближенных профилей температуры и концентрации от параметров L и ks приведена на рис. 2–4.
Рис. 2. Зависимость профиля температуры от параметра ks (L = 0,81): 1 – 
; 2 – 
; 3 – 
; ks = 0,1 – сплошная линия; ks = 1,0 – пунктирная линия
Рис. 3. Зависимость профиля температуры от числа Льюиса (ks = 1,0): 1 – 
; 2 – 
; 3 – 
; L = 3,0 – сплошная линия; L = 0,81 – пунктирная линия
Рис. 4. Сравнение профилей концентрации для различных значений числа Льюиса (ks = 0,1): L = 3,0 – сплошная линия; L = 0,81 – пунктирная линия; 1 – 
; 2 – 
; 3 – 
В случае L = 0,81 профили температуры слабо зависят от изменения коэффициента ks при ks ≤ 1,0. Эта зависимость усиливается с увеличением ks и становится весьма значительной при ks > 10,0 Указанный результат допускает следующее объяснение: малые значения числа Льюиса соответствуют сравнительно малым значениям теплопроводности, так что при слабом взаимодействии на стенке процессов тепло- и массопереноса (ks ≤ 1,0, следовательно, мало значение коэффициента a) это взаимодействие на областях, близких к оси трубки, сказывается постепенно, увеличивая отличие профилей температуры, соответствующих различным ks вниз по течению (рис. 3). Процесс для ks = 10,0 протекает при сильном взаимодействии полей температуры и концентрации, что вызывает существенное изменение профиля температуры даже при малых коэффициентах температуропроводности. При L = 3,0 профили температуры более пологие, и достижение полностью развитого состояния происходит при больших 
, причем крутизна профилей увеличивается с увеличением коэффициента ks как для L ≤ 1,0, так и для L > 1,0. Приведенный результат находится в согласии с общими представлениями о теплообмене, так как увеличение числа Льюиса означает уменьшение потока массы на стенке (рис. 5), что в свою очередь уменьшает тепловой поток (формула (4)) и приводит к более медленному изменению профиля температуры. Эффектом, аналогичным слабой зависимости профиля температуры от ks при L ≤ 1,0, является сравнительно слабая зависимость от ks профиля концентрации при L > 1,0. Для его объяснения можно привлечь подобные соображения. Анализ результатов позволяет сделать вывод о том, что профили концентрации, в противоположность профилям температуры, в значительно большей степени чувствительны к изменению потока массы. Существенные отклонения наблюдаются лишь для значений ks > 1,0 и на начальном участке течения.
Рис. 5. Влияние параметра ks на поток массы у боковой поверхности трубки при различных числах Льюиса: ks = 0,1 – сплошная линия; ks = 1,0 – пунктирная линия
Наибольший практический интерес представляет исследование сублимационного потока на боковой поверхности (рис. 5). Из представленных зависимостей следует однозначный вывод о том, что уменьшения сублимационного слоя можно добиться, осуществляя процесс напыления на максимально возможных числах Льюиса и значениях параметра ks.