В математической теории эмоциональных роботов [2–4, 8] суммарное воспитание, полученное некоторым роботом в ходе воспитательного процесса, описывается формулой
где под тактом понимаем время, в течение которого робот испытывает эмоции вследствие воспитательного воздействия [3]; ri –элементарное воспитание, полученное на i-м такте [3];
?i – коэффициент памяти для i-го такта (0 ? ?i < 1, память робота неабсолютна [8]); Ri – общее воспитание, приобрётенное роботом в течение i первых тактов [3].
Рассмотрим случай равномерно забывчивого робота 
[3, 4]. Суммарное воспитание такого робота описывается рекуррентным соотношением
(1)
Последовательность, задаваемую этой формулой, назовём неклассическим рядом. Отметим, что классический ряд 
[6], характеризуемый рекуррентным соотношением 
, где 
, является частным случаем неклассического при ? = 1. Свойства классического ряда исчерпывающе описаны в фундаментальном труде по математическому анализу [5–7].
Целью предлагаемой статьи является изучение свойств неклассических рядов и нахождение критерия их сходимости.
Критерий сходимости неклассических рядов
Рассмотрим случай, когда последовательность 
– ограничена. Тогда выполняется следующая лемма.
Лемма. Если 0 ? ? < 1 и последовательность 
– ограничена, то неклассический ряд 
– тоже ограничен.
Доказательство.
По условию леммы, найдется такое число m > 0, что 
для любого i. Докажем, что при сделанных предположениях 
ограничивает ряд 
, то есть, какой бы i ни взять, 
.
Для i = 1 справедлива цепочка неравенств:
Пусть наше утверждение доказано для всех 
, то есть 
для данных значений индекса. Истинность утверждения для 
следует из следующих соотношений:
Таким образом, лемма доказана по методу математической индукции.
Следствие. Если 
при любом i, то 
для всех j (i и j – натуральные числа).
В рамках теории доказанная лемма говорит о том, что при ограниченных воздействиях на равномерно забывчивого робота его суммарное воспитание будет ограничено.
Предположим, что последовательность элементарных воспитаний робота 
при неограниченном возрастании n сходится к определённому пределу. При данном условии справедлива следующая теорема.
Теорема. Неклассический ряд 
при 0 ? ? < 1 сходится тогда и только тогда, когда последовательность 
имеет конечный предел при 
.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть 
. Запишем определение неклассического ряда и выразим оттуда 
: 
Отсюда получаем
Следовательно, последовательность 
сходится к числу 
Достаточность.
Пусть 
и 0 ? ? < 1. Введём вспомогательные последовательности: 
, 
Для введённых последовательностей задача переформулируется следующим образом: доказать, что для больших значений i величины 
оказываются меньшими любого наперёд заданного ? > 0. Заметим, что по свойствам пределов [5] qi – бесконечно малая величина.
По определению, 
, 
. С учётом введённых обозначений преобразуем рекуррентную формулу (1):
,
.
Таким образом, мы получили следующее рекуррентное задание для ряда 
.
Поскольку, по свойствам пределов [5], сходящаяся последовательность 
– ограничена, мы можем применить лемму и сделать вывод о том, что ряд 
, а вместе с ним и 
ограничены. То есть найдется такое число M, не зависящее от i, что 
.
Зададимся произвольным ? > 0 и введём в рассмотрение ?? – пока неизвестное для нас положительное действительное число. Подберём ?? по числу ? так, чтобы выполнялось 
, начиная с некоторого номера N. Тем самым мы установим сходимость ряда. Пусть Nq – натуральное число, такое, что для всех 
.
Для частичных сумм неклассического ряда 
, начиная с 
справедливы следующие оценки сверху:
, 
,
где Mi – оценка сверху для величины, 
Таким образом, мы получили рекуррентно заданную последовательность:
Решением полученной рекуррентной последовательности [1], удовлетворяющим начальному условию, является выражение
По условию, 0 ? ? < 1. А значит, 
. То есть по числу 
(взято для удобства дальнейших выкладок) найдется такой номер N?, что для любого i ? N? справедливо неравенство 
. Отсюда, при условии 
следует истинность цепочки соотношений
(2)
Ниже будет показано, что искомый ?? обращает коэффициент при ?i в неотрицательное число, а значит, неравенство (2) верно. Используем соотношение (2) для определения значения ?? по известным и не зависящим от i величинам M, ?, ?. Таким образом, справедливо равенство
. (3)
Ясно, что из наших рассуждений и равенства (3) при искомом значении ?? следует, что 
, начиная с некоторого номера N (при этом легко видеть, что 
).
Разрешив квадратное уравнение относительно ??, получаем равенство
. (4)
Потребуем для ?? выполнения следующих условий:
1) ?? – действительное число. А значит, 
2) 
Данное условие необходимо для справедливости оценки сверху, приведенной выше. После подстановки в это неравенство значения ??, определяемого формулой (4), и несложных преобразований получаем, что в соотношении (4) нужно выбрать знак «–» и 
.
Если M ? ?, то приведённые выше условия выполняются автоматически:
,
,
так как 
.
Поскольку, задавшись произвольным ?, в наших рассуждениях фактически не играла никакой роли величина M (существенным оставалось лишь то, что M ограничивает сверху ряд 
), то систему условий можно заменить на одно, более простое, требование – M ? ? – и при необходимости можно увеличить M, чтобы данное требование выполнялось.
Подводя итог доказательству достаточности условий теоремы, сформулируем последовательность шагов для определения сходимости ряда 
:
1. Возьмём некоторое положительное число ?.
2. Возьмём любое число M, удовлетворяющее следующим условиям:
? 
, независимо от i.
? M ? ?.
3. Вычислим
.
4. Вычислим Nq: такой номер, что, каким бы ни был 
, 
5. Вычислим N?: такой номер, что, каким бы ни был 
, 
.
6. Тогда 
, и, при любых 
, 
То есть 
– предел для ряда 
по определению.
Следствие. Если 
то 
– сумма неклассического ряда 
.
Характеристики предельного воспитания робота
Согласно доказанному критерию, сходимость суммарного воспитания некоторого робота эквивалентна сходимости соответствующей последовательности элементарных воспитательных воздействий, оказанных на робота. В дальнейшем сходящуюся последовательность элементарных воспитаний будем называть планом воспитания, предельное значение суммарного воспитания – целью воспитания. Используя следствие из критерия сходимости, получаем соотношение между целью и планом воспитания:
,
где R – цель воспитания, 
, 
– план воспитания, ? – коэффициент памяти робота [3].
На практике время, в течение которого воспитывался робот, всегда конечно. Поэтому существует потребность в вычислении времени (числа тактов), по прошествии которого цель воспитания будет достигнута с заданной точностью, при выбранном плане воспитания. Число тактов, достаточное для того, чтобы суммарное воспитание робота отклонялось от цели воспитания не более чем на заданную величину ?, назовём эффективным временем воспитания и обозначим ET(?). Вычислить ET(?), используя только план воспитания 
и коэффициент памяти робота ?, можно, например, с помощью последовательности шагов, описанной выше. Из соображений удобства заменим второй пункт эквивалентной ему совокупностью действий:
2.1. Возьмём любое число m, такое, что 
для любых натуральных i.
2.2. 
.
Число M, вычисленное предложенным способом, будет удовлетворять обоим условиям второго пункта:
,
.
Для первой цепочки неравенств использованы следствие из леммы для критерия сходимости неклассических рядов и соотношения для модулей действительных чисел.
Ясно, что при задании точности ? ~ 1 %, определяющей отклонение итогового воспитания от цели воспитания, воспитательные воздействия, начиная с ET(?) + 1-го, практически не возымеют на робота никакого эффекта.
Пример численной реализации критерия сходимости
Рассмотрим робота, коэффициент памяти [3] которого 
. Пусть план воспитания подчиняется экспоненциальному закону 
, 
Поскольку 
, суммарное воспитание, полученное роботом, будет иметь конечный предел. Целью воспитания является 
.
Вычислим эффективное время воспитания, соответствующее точности ? = 10–2.
,
,
,
(?? допустимо округлять вниз, так как из условия ? ? ?? следует справедливость цепочки неравенств 
и 
),
,
,
.
Суммарное воспитание робота после двадцати семи тактов воспитательного процесса, вычисленное при помощи компьютера, составляет R ? 2,99993. Для этого числа порядок точности существенно больше, чем заданный. Объясняется это тем, что M значительно превосходит точную верхнюю грань [5] множества всех возможных значений величины 
.
Заключение
Таким образом, в предложенной статье была исследована математическая модель суммарного воспитания равномерно забывчивого робота [3, 4, 8]. Результатом исследования стали критерий сходимости воспитательного процесса и ряд характеристик предельного воспитания робота.
Полученный критерий можно использовать в робототехнике для подбора параметров искусственного интеллекта робота, связанных с воспитанием, в частности, для того, чтобы гарантировать устойчивое воспитание робота, а значит, стабильную, предсказуемую реакцию робота на внешние воздействия. Свою ценность имеет и лемма, использованная для доказательства критерия: она фактически постулирует тот факт, что в модели роботов с неабсолютной памятью [8] воспитание, приобретённое роботом, всегда будет конечно, так как воздействия на робота ограничены. Численная характеристика эффективного времени воспитания может быть полезна при первичной «воспитательной» настройке робота при производстве, чтобы гарантировать поведение, близкое к тому, которое в идеале должно быть у робота, определяемое целью воспитания.