Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,969

1
1

Рассмотрим направленность Федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС), программ и учебников геометрии на формирование у учащихся компетенций, связанных с доказательством математических предложений.

Среди требований стандартов к предметным результатам освоения математики (алгебры, геометрии, начал анализа) базового уровня нет требований к обучению учащихся умению доказывать. Они есть лишь в требованиях к предметным результатам освоения математики профильного направления: «Требования должны отражать: сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса математики; знание основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач» [11].

Таким образом, ФГОС общего образования – важнейший нормативный документ образования – включает в себя требования к результатам обучения «умение делать логические выводы, проводить доказательные рассуждения» только к профильному курсу математики.

В программе по математике базового уровня в пояснительной записке отмечается среди общеучебных умений, навыков и способов деятельности такое требование: «проведение доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, различение доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и эмоционально убедительных суждений»; среди умений, формируемых геометрией, отмечается: «проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач» [11].

В пояснительной записке к программе по математике для базового уровня профиля «Математика» среди умений, формируемых геометрией, отмечено «проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач, доказывать основные теоремы курса» [11].

Анализ показывает, что к учащимся классов с углубленным изучением математики предъявляются более высокие требования к умению доказывать, что требует от учителя более серьезной подготовки учащихся к проведению доказательств.

Компетенции, связанные с доказательствами, преимущественно формируются в процессе доказательства теорем и решения задач на доказательство.

Проанализируем школьные учебники геометрии [1, 2, 5, 8, 9, 10] с точки зрения обучения учащихся доказательству.

В учебниках геометрии [8, 9] авторов И.М. Смирновой, В.А. Смирнова, понятия «теорема» и «доказательство» вводятся уже в первой главе (п. 1.1). Все теоремы и вытекающие из них следствия сопровождаются доказательством. Всего за полный курс геометрии учащимся предлагается 164 теоремы для непрофильных классов и 203 теоремы для классов с углубленным изучением математики.

Наиболее распространенные виды теорем в данных учебниках – теоремы-свойства (74%) и теоремы-признаки (18%). Чаще всего теоремы формулируются в категорической форме – 69%.

В учебниках геометрии [1, 2] авторов Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. понятия «теорема» и «доказательство» вводится не сразу, а постепенно: в первой главе содержится информация о неопределяемых понятиях, аксиомах, математических предложениях, проводятся доказательные рассуждения, но все они не называются таковыми.

Во второй главе при изучении первого признака равенства треугольников авторы учебника дают определения понятиям «теорема» и «доказательство», ссылаясь, что раннее проводились доказательные рассуждения: «… фактически мы уже имели дело с теоремами и их доказательствами. Так, утверждение о равенстве вертикальных углов является теоремой, а рассуждения, которые мы провели, чтобы установить равенство вертикальных углов, и есть доказательство теоремы…» [1, с. 29].

Всего в учебниках [1, 2] содержится 90 теорем. Практически все теоремы даны с доказательством, исключение составляют 5 утверждений, которые предлагаются учащимся в качестве самостоятельной работы.

Большая часть теорем сформулированы в категорической форме (66%). 33% теорем сформулировано в условной форме. Одна теорема сформулирована в разделительной форме. Теорем-следствий в учебнике примерно 56%, теорем-признаков – 34%, теорем существования и единственности – 10%.

В работе [7] проведен и представлены результаты анализа учебников геометрии на предмет наличия в них задач на доказательство. Приведем эти результаты (таблица 1).

Таблица 1

Процентное соотношение задач на доказательство в учебниках геометрии

Учебник

Всего заданий в учебнике

Из них на
доказательство

Процент от общего числа заданий

Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9» [1]

1229

427

34,7%

Погорелов А.В. «Геометрия 7-9» [5]

791

203

25,7%

Шарыгин И.Ф. «Геометрия 7-9» [10]

1471

369

25%

Покажем динамику изменения процентного соотношения задач на доказательство в этих учебниках (таблица 2) [7].

Таблица 2

Динамика изменения процентного соотношения заданий на доказательство в учебниках геометрии

учебник

класс

Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9» [1]

Погорелов А.В. «Геометрия 7-9» [5]

Шарыгин И.Ф. «Геометрия 7-9» [10]

Средний процент

7

52%

36%

22,8%

37%

8

35,5%

25,5%

25,9%

29%

9

24%

17,5%

27,5%

22,9%

Результаты анализа показывают, что в учебниках [1,5] наблюдается значительное снижение числа задач на доказательство к 9 классу, а в учебнике [10] эти задачи распределены более равномерно.

Анализ стандартов и программ по математике показывает, что проблеме обучения учащихся доказательству теорем не уделяется должного внимания.

Анализ школьной практики показывает, что учителя переключили внимание на подготовку к ГИА и ЕГЭ по математике.

В контрольно-измерительных материалах ГИА и ЕГЭ по математике нет ни одной задачи на доказательство, а потому учителя за редким исключением доказывают теоремы и не требуют этого от учащихся. Это негативно сказывается на формировании математической культуры учащихся.

Приведем перечень видов работ учителя по пропедевтике обучения учащихся доказательству теорем: формирование у учащихся умения подмечать закономерности; воспитание у учащихся понимания необходимости доказательства; обучение учащихся умению выделять условие и заключение в математических утверждениях; ознакомление учащихся с простыми и сложными высказываниями и значениями их истинности; ознакомление школьников с понятием отрицания высказываний и с понятием противоречивых высказываний; обучение учащихся умению выделять различные конфигурации на одном и том же чертеже; обучение учащихся умению пользоваться контрпримерами; обучение учащихся умению выполнять геометрические чертежи и читать их; формирование у учащихся умения выводить следствия из заданных условий; формирование у учащихся умения проводить доказательные рассуждения, делать выводы.

Укажем также, каковы должны быть действия учителя по подготовке к уроку, на котором будет доказываться теорема: анализ формулировки теоремы и выяснение ее значения в системе других теорем; построение аналитических рассуждений, облегчающих понимание доказательства теорем; определение ведущего метода доказательства, исследование особенностей доказательства; исследование математических ситуаций, возникающих при доказательстве; поиск других методов и способов доказательства теоремы; определение рациональной записи доказательства теоремы на доске и в тетрадях учащихся; подбор задач, решение которых облегчит доказательство теоремы; подбор задач, закрепляющих доказываемую теорему; подбор материала для внеклассной работы, связанный с изученной теоремой.

Более обстоятельный разговор об обучении учащихся доказательству представлен в наших работах [3, 4].