В разделе математики «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» мы изучили скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Я случайно увидел в некоторых книгах информацию о двойном векторном произведении и решил подробнее узнать о нём и его свойствах.
Пусть вектор 
умножается векторно на вектор 
, после чего полученный вектор 
умножается снова векторно на вектор 
. В результате получается так называемое двойное векторное произведение 
(ясно, что в результате имеем 
-вектор).
Двойное векторное произведение вычисляется по формуле
(1)
В общем случае, 
Покажем это, используя свойства векторного и скалярного произведения двух векторов
(2)
Из сопоставления формул (1) и (2) можно вывести следующее правило для запоминания: двойное векторное произведение равно произведению среднего вектора на скалярное произведение двух других, минус крайний вектор скобки, умноженный на скалярное произведение двух других или говорят 
равно «б а ц» минус «ц а б».
При круговой перестановке векторов 
формула (1) приводит к трем разным векторам:
Складывая вместе эти три равенства, получим тождество
Одно из применений формулы (2) состоит в выводе разложения данного вектора 
, на две компоненты, из которых одна параллельна, а другая перпендикулярна к заданному вектору 
. В самом деле, положив в формуле (2) 
, найдем:
Решая это уравнение относительно 
, получим:
(3)
Первый из слагаемых векторов правой части, очевидно, параллелен вектору 
, а второй перпендикулярен к нему. Формула (3) для разложения упрощается, если 
есть единичный вектор. Тогда 
и формула (3) примет вид:
Рассмотрим следующий пример: показать, что если 
то
По формуле (2) имеем
т.к. 
.
Умножая векторно слева на 
, получим:
Повторяя ту же операцию, найдем:
что и требовалось.
Таким образом, я познакомился с двумя случаями произведений трех векторов в трехмерном пространстве: скалярно-векторное (в результате получаем число) и двойное векторное произведение (в результате получаем вектор).