Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,641

Рассмотрим дифференциальное уравнение четвёртого порядка:

 (1)

причём

 (2)

где τ - запаздывание; λ - спектральный параметр; потенциал q(x) - суммируемая функция на отрезке [0; π]: q(x) L1[0; π], начальная функция φ(x) - суммируемая функция на отрезке [-τ; 0]: φ(x) L1[-τ; 0].

Пусть λ = s4, - некоторая ветвь (зафиксируем её условием ), пусть

Методами, изложенными в работе [1], доказывается следующее утверждение.

Теорема 1. Решение y(x, s) дифференциальное уравнение (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:

 (3)

Применяя к (3) метод последовательных приближений Пикара и используя (2), приходим к выводу, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. В случае τ Î (π; +∞ общее решение дифференциального уравнения (1)-(2) имеет следующий вид:

 (4)

Теорема 3. В случае  общее решение дифференциального уравнения (1)-(2) имеет следующий вид:

 (5)

причём

(6)

Теорема 4. В случае  общее решение дифференциального уравнения (1)-(2) имеет вид:

 (7)

где  определены в (6),

 (8)

оценки в (7) проводятся методами главы 5 монографии [2].

Полученные формулы позволяют изучать различные краевые задачи для дифференциального уравнения (1).

Список литературы

  1. Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестник Московского университета. Сер. 1, математика, механика. - 2009. - №3. - С. 14-17.
  2. Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. - М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.