Для исследования появления и распространения трещин в тех или иных условиях успешно используется механика разрушения. Однако на сегодняшний день аналитические решения существуют только для простых трещин. Трещины же сложные (наклонные, разветвленные и т.д.) могут быть решены только с использованием численных методов.
Благодаря постоянно развивающимся компьютерным технологиям на сегодняшний день инженеры и учёные получили возможность анализа прочности, напряжённо-деформированного состояния конструкции с трещинами или без, не прибегая к созданию моделей, эквивалентных данным, а лишь работая в системах инженерного анализа (CAE-системы).
Метод, использующий математические модели вместо экспериментальных стендов, очень перспективен с точки зрения автоматизации и ускорения инженерных расчётов. Данный метод экономичен по материальным и трудовым затратам.
Классификация задач механики разрушения. Все задачи механики разрушения делятся на две части:
а) линейные задачи, когда находятся основные параметры механики разрушения для горизонтальных, либо вертикальных трещин (I тип деформации объекта);
б) нелинейные задачи (II, III типы деформации при растрескивании).
Для нелинейных задач также рассчитываются коэффициенты интенсивности напряжений, J-интеграл и интенсивность освобождения энергии в вершине трещины.
Нелинейные задачи механики разрушения имеют дело с произвольно ориентированными, наклонными, разветвляющимися трещинами, сочетающими в себе сразу несколько типов деформации и, следовательно, для одной модели иногда невозможно аналитически вывести формулы для расчёта коэффициентов интенсивности, с помощью которых и определяется прочность и предел стойкости конструкции [1].
На сегодняшний день данные задачи решаются численными методами, в частности методом конечных элементов МКЭ. ПМК ANSYS позволяет реализовать расчёт модели с трещинами с помощью метода виртуального роста трещины, но только для двухмерных моделей. Также в данном пакете предусмотрены встроенные команды для нахождения коэффициентов интенсивности I, II, III родов. Однако применение данной команды имеет ограниченный круг действия.
При трёхмерном моделировании необходимо искусственно сдвигать узлы конечного элемента в вершине трещины. Следовательно, появляется необходимость в разработке метода автоматизированного процесса построения сетки конечных элементов в вершине трещины для трёхмерных объектов. Данный метод должен подходить для разбиения любой модели, имеющей произвольно ориентированную трещину, на конечные элементы, а затем для нахождения коэффициентов интенсивности.
Исследование пластины с краевой наклонной трещиной. Дана пластина, имеющая краевую наклонную трещину. Внешний вид данной пластины изображен на рис. 1. Исходные параметры следующие: b = 5 мм, t = 1 мм, a = 45°. На пластину действуют растягивающие силы, равные 1 МПа. Свойства материала заданы таким образом: модуль Юнга 2∙105 МПа, коэффициент Пуассона 0,3. Необходимо исследовать поведение трещин длиной l = 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5 мм.
Рис. 1. Пластина с краевой
наклонной трещиной^
b - габаритные размеры пластины;
s - векторы напряжений; a - угол наклона трещины; l - длина трещины;
t - толщина пластины
Строится модель, разбивается на конечные элементы, прикладываются нагрузки, производится расчёт.
Нахождение J-интеграла и коэффициентов интенсивности. Следующим шагом считаем J-интеграл и коэффициенты интенсивности. Для нахождения J-интеграла используется представленная методика.
(1)
где r - произвольный путь вокруг вершины трещины; W - плотность энергии деформации; tx - вектор силы сцепления вдоль оси х; ty - вектор силы сцепления вдоль оси;
где σ - компоненты напряжения; n - единичный внешний вектор, нормальный к пути;
u - вектор перемещения; s - расстояние вдоль пути r.
Рис. 2. Произвольный путь
вокруг вершины трещины
Следует отметить, что в случае, представленном на рис. 2, трещина расположена в глобальной декартовой системе координат xoy, а ось x параллельна фронту трещины. Имея дело с нелинейной механикой разрушения, где трещина находится под каким-либо углом к оси x, формула (1) в ее первоначальном виде не подходит.
Искомый J-интеграл необходимо разложить на две составляющие: по оси x и оси y. К тому же вычисление J-интеграла осуществляется только тогда, когда фронт трещины параллелен оси ox. Необходимо ввести локальную декартовую систему координат x1o1y1, которая удовлетворяет этому условию. В этой системе координат необходимо определить формулы для составляющих J-интеграла, а затем перейти в глобальную систему координат. Ниже следует вывод формул для J-интеграла, которые впоследствии запрограммированы в макрофайле.
Используя формулу (1), получим выражение для J1 в случае произвольно ориентированной трещины.
В результате ряда экспериментов были получены данные, которые представлены в таблице. Был рассмотрен данный пример с трещиной и приведены результаты нахождения коэффициентов интенсивности через J-интеграл путем программирования на ЭВМ БЭСМ-6 с использованием изопараметрических квадратичных элементов [2].
Рис. 3. Свободно ориентированная трещина с глобальной и локальной декартовыми системами координат
Коэффициенты интенсивности также были рассчитаны и О. Бови [3].
Для сравнения методов строятся зависимости коэффициентов интенсивности от длины трещины (рис. 4-5).
Метод расчета на прочность трехмерных объектов проектирования на основе метода конечных элементов применим к практическим задачам, например, в конструкциях. имеющих усталостные трещины. Метод достаточно простой. Его реализация в программно-методическом комплексе ANSYS позволяет без лишних затрат производить расчёты напряженно-деформированного состояния детали, выяснять долговечность и пределы прочности конструкции.
Результаты исследования пластины с наклонной краевой трещиной
|
l/B |
Коэффициенты интенсивности по Никишкову |
Экспериментальные данные из ПМК ANSYS |
||
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
0,731 |
0,398 |
0,806 |
0,355 |
|
0,2 |
0,795 |
0,428 |
0,877 |
0,393 |
|
0,3 |
0,896 |
0,474 |
0,926 |
0,457 |
|
0,4 |
1,040 |
0,532 |
1,055 |
0,502 |
|
0,5 |
1,261 |
0,604 |
1,296 |
0,584 |
|
0,6 |
1,575 |
0,685 |
1,601 |
0,648 |
|
0,7 |
2,051 |
0,779 |
2,101 |
0,743 |
Рис. 4. Зависимость коэффициента интенсивности напряжения KI от длины трещины
Рис. 5. Зависимость коэффициента интенсивности напряжения KII от длины трещины
Список литературы
- Сиратори М., Миёси Т., Мацусита Т. Вычислительная механика разрушения. - М.: Мир, 1986. - 336 с.
- Никишков Г.П., Вайншток В.А. Метод виртуального роста трещины для определения коэффициентов интенсивности KI и KII. Проблемы прочности. - М.: Мир,
1980. - 26-30 с. - Bowie O.L. Solution of plane crack problems by mapping technique In: Methods of analysis and solutions of crack problems. - Leyden, Noordhoff, 1973. - P. 1-55.