Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,909

Особенности физических свойств систем с фрактальной структурой связаны с проявлением эффектов памяти, пространственных корреляций и процессами самоорганизации. Создание адекватных количественных моделей для исследования свойств систем с фрактальной структурой требует привлечения математического аппарата интегро-дифференцирования дробного порядка [1-2]. С этим и связан повышенный интерес к приложению математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка к задачам тепломассопереноса [3-5]. В настоящем сообщение приводится решение обобщенного уравнения теплопроводности с учетом эффектов памяти и пространственных корреляций. Исходное уравнение имеет вид

             (1)

где f, f, f безразмерные время и координата, t0, x0 - характерные время и масштаб, f, Χ - коэффициент температуропроводности,  - начальная температура. Входящие в (1) производные дробного порядка определены следующим образом

 - производная Римана-Лиувилля

- производная Рисса-Вейля

Здесь Г(z) - гамма-функция Эйлера. Производная Римана-Лиувилля учитывает память (нелокальность во времени), производная Рисса учитывает пространственные корреляции (пространственная нелокальность).

Для решения уравнения (1) применим преобразование Фурье по координатной переменной ξ. Получим

f         (2)

Здесь f Фурье-образ функции . Совершая преобразование Лапласа по переменной f уравнение (2) дает

         (3)

где  образ Лапласа функции . Совершая преобразование Меллина получим следующее выражение для

,                (4)

где  Функция Миттаг-Леффлера. Совершая в (4) обратное преобразование Фурье окончательно получим решение уравнения (1) в виде

              (5)

Решение (5) если α = 1 и β = 2 соответствует решению традиционного уравнения теплопроводности. Действительно, для случая α = 1 имеем  и (5) принимает вид

           (6)

Полагая в (6) β = 2 получим известное решение. Решение (6) для случая 1 < β < 2 учитывает пространственные корреляции. Если в (5) положить β = 2 а 0 < α < 1 то получим решение соответствующее учету эффектов памяти

f          (7)

В общем случае уравнение (1) имеет новый класс решений, занимающий промежуточное положение между релаксационным и волновым поведением. Эти решения имеют квазиволновой характер. Другая особенность полученных решений в том, что они приводят к степенной зависимости от аргументов. В частности для случая, когда  для f имеем

,

а для  получим .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. «Наука и техника», 1987.
  2. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления. М: Физматгиз, 2003.
  3. Мейланов Р.П. Обобщенное уравнение одномерной фильтрации с дифференцированиями дробной степени//ИФЖ. 2001. т.74. №2. с.1-4
  4. Мейланов П., Янполов М.С. Особенности фазовой траектории фронтального осциллятора.// «Письма в ЖЭТФ» 2002.т.28.Вып 1. С.67-71.
  5. Мейланов Р.П., Свешникова Д.А., Шабанов О.М. Метод дифференциальных уравнений в описании кинетики сорбций // ЖФХ. 2003. Т.77. С.260-264.
  6. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // УФН. 2003. Т.173, №8.С.846-876.