Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

В связи с проникновением идей фрактальной геометрии в современную науку предпринимаются активные попытки внедрения зависимостей с дробной размерностью для описания различных физико-химических процессов [1-4]. В ряде работ [1,5,6] показано, что в ветвящихся фрактальных структурах могут реализовываться сверхмедленные процессы переноса. Вместе с тем оказалось, что процессы, происходящие во фрактальных средах, можно описывать с помощью дифференциальных уравнений, содержащие дробные производные вместо обычных производных целого порядка.

В [1,2] показано, что ряд физико-химических систем, которые могут быть описаны уравнениями в дробных производных, должны содержать в себе каналы, входящие в состав ветвящейся фрактальной структуры.

Такими системами могут быть процессы теплопереноса и массопереноса в перколяционных кластерах, фрактальных и пористых средах. Причем [1,2] получено, что показатель дробной производной по времени соответствует доли каналов (ветвей), открытых для протекания. В [5] показано, что аномальная диффузия (диффузия Леви) имеет фрактальную природу, и получена взаимосвязь порядка дробной производной с показателями масштабного преобразования времени и Херста.

Рассмотрим обобщенную задачу диффузии на полупрямой:

f       (1)

где t- время, u(x,t)-концентрация диффундирующего компонента; f- дробный порядок производной (характеризующий долю каналов, открытых для протекания), 0< f<1, D2 -эффективный коэффициент диффузии на фрактале.

Для учета начального условия u(x,t =0) = u(x,0) необходимо его явно внести в уравнение и исходить из уравнения следующего вида:

а

Для нахождения решения этой задачи сначала применим синус преобразования по переменной x после применяя преобразования Лапласа получим:

а

После преобразования выражений f, f, получим:

f= f = f f,

f= f.

Из этих равенств следует:

f

 f(3)

где f - функция Миттаг-Леффлера.

Рассмотрим случай, когда f тогда

f

При f получаем решение:

f+ ff,

где f

А в остальных случаях, когда 0<α <1, мы получаем новый класс решений. Полученное решение (3) можно использовать при исследовании процессов диффузии в системах, обладающих фрактальной структурой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Nigmatullin R.R. //Phys. Stat. Solidi (b). 1986. V. 133. P. 425.
  2. Nigmatullin R.R. // Ibid.1986. V.133. P.713.
  3. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен. Методы расчета тепловых и диффузионных потоков. Л.: Химия, 1986. 144с.
  4. Нигматулин Р.Р. ТМФ. 1992. Т.90. №3. С.354.
  5. Суханов А.Д., Тимашев С.Ф. // Журнал физ. химии. 1998. Т.72. №11. С. 2073.
  6. Иванова В.С., Балакин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994. 383 с.
  7. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: наука и техника, 1987.